Παράδοξο των γενεθλίων
Πόσοι άνθρωποι πρέπει να βρίσκονται σε μια τάξη ή σε ένα πάρτι, ώστε με πιθανότητα τουλάχιστον 50% να βρεθούν δύο που έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; Το έτος δεν μας ενδιαφέρει, μετράνε μόνο η ημέρα και ο μήνας. Στους περισσότερους ανθρώπους η διαίσθηση ψιθυρίζει κάτι γύρω στο 183, δηλαδή το μισό του έτους. Η σωστή απάντηση είναι 23.
Παράδοξο είναι μόνο φαινομενικά. Δεν υπάρχει καμία αντίφαση, απλώς η διαίσθησή μας μας τραβάει εντελώς προς τη λάθος κατεύθυνση.
Γιατί τόσο λίγοι;
Όταν ρωτάμε για τα ίδια γενέθλια, συνήθως σκεφτόμαστε τον εαυτό μας: έχει κάποιος γενέθλια την ίδια μέρα με μένα; Η ερώτηση όμως στοχεύει αλλού. Δεν ψάχνουμε σύμπτωση με μένα, αλλά σύμπτωση ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο ανθρώπους της ομάδας.
Τα ζευγάρια που σχηματίζονται σε μια ομάδα είναι πολύ περισσότερα απ' όσα θα περίμενε κανείς. Σε μια ομάδα 23 ανθρώπων ο καθένας μπορεί να σχηματίσει ζευγάρι με τους άλλους 22. Έτσι προκύπτει το 23 · 22, μόνο που κάθε ζευγάρι το έχουμε μετρήσει δύο φορές (την Ελένη με τον Πέτρο και τον Πέτρο με την Ελένη), άρα τα ζευγάρια είναι
Είναι το ίδιο με τον διωνυμικό συντελεστή
Πώς υπολογίζεται
Ας υποθέσουμε ότι το έτος έχει 365 ημέρες, ότι παραλείπουμε τις 29 Φεβρουαρίου και ότι κάθε ημέρα είναι εξίσου πιθανή. Στην πραγματικότητα οι γεννήσεις κατανέμονται λίγο άνισα μέσα στο έτος, αλλά αυτό σχεδόν δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
Το να υπολογίσουμε απευθείας πότε συμπίπτουν τουλάχιστον δύο θα ήταν κοπιαστικό. Μπορούν να συμπέσουν δύο άνθρωποι, τρεις, δύο διαφορετικά ζευγάρια… Γι' αυτό θα πάμε από πλάγιο δρόμο, μέσω του αντίθετου ενδεχομένου: θα υπολογίσουμε την πιθανότητα να έχουν όλοι γενέθλια σε διαφορετικές ημέρες και θα την αφαιρέσουμε από το ένα.
Ξεκινάμε με τρεις ανθρώπους. Ο πρώτος μπορεί να έχει γενέθλια οποιαδήποτε μέρα, δηλαδή
Η πιθανότητα να συμπίπτουν τα γενέθλια δύο από τους τρεις ανθρώπους βγαίνει 1 − 0,9918 = 0,0082, δηλαδή λιγότερο από ένα τοις εκατό.
Για 23 ανθρώπους η διαδικασία είναι ίδια, απλώς υπάρχουν περισσότερα κλάσματα. Ο εικοστός τρίτος άνθρωπος έχει να διαλέξει ανάμεσα σε 365 − 22 = 343 ημέρες:
Με πιθανότητα περίπου 0,4927 όλοι έχουν γενέθλια σε διαφορετικές ημέρες. Το αφαιρούμε από το ένα:
Η πιθανότητα να έχουν τουλάχιστον δύο από τους 23 ανθρώπους γενέθλια την ίδια μέρα είναι περίπου 50,7%. Με 22 ανθρώπους είναι ακόμη μόνο 47,6%, και έτσι το 23 είναι ο μικρότερος αριθμός για τον οποίο η πιθανότητα ξεπερνά το μισό.
Με κάθε επιπλέον άνθρωπο η πιθανότητα αυξάνεται γρήγορα. Για 10 ανθρώπους βγαίνει περίπου 12%, για 30 περίπου 71%, για 50 περίπου 97% και για 70 ήδη πάνω από 99,9%. Αν σε μια τάξη κάθονται τριάντα παιδιά και κανένα ζευγάρι δεν έχει κοινά γενέθλια, αυτό είναι μάλλον μια μικρή τύχη.
Κι αν πρόκειται για τα δικά μου γενέθλια;
Ας γυρίσουμε στην ερώτηση που έρχεται πρώτη στο μυαλό: πόσοι άνθρωποι χρειάζονται, για να έχει τουλάχιστον ένας από αυτούς γενέθλια την ίδια μέρα με εμένα;
Εδώ ο υπολογισμός είναι διαφορετικός. Καθένας από τους n ανθρώπους έχει γενέθλια άλλη μέρα από μένα με πιθανότητα
Για n = 252 βγαίνει περίπου 0,4991, που δεν αρκεί ακόμη. Για n = 253 βγαίνει περίπου 0,5005, άρα χρειαζόμαστε 253 ανθρώπους. Παρεμπιπτόντως, τόσα ακριβώς είναι και τα ζευγάρια σε μια ομάδα 23 ανθρώπων. Δεν είναι εντελώς σύμπτωση: 253 ζευγάρια σημαίνουν 253 ευκαιρίες για ταύτιση, όπως και 253 άνθρωποι που συγκρίνονται με μένα. Το ότι βγαίνει ακριβώς ο ίδιος αριθμός είναι όμως κάπως τύχη. Τα ζευγάρια όμως επηρεάζουν λίγο το ένα το άλλο, και γι' αυτό για 23 ανθρώπους βγαίνει 50,7% και όχι 50,05%.
Δες επίσης
Κεφάλαια: Το πρόβλημα Monty Hall, Παράδοξο των γενεθλίων, Νόμος του Benford, Πιθανοθεωρητικό παράδοξο του ψεύτη, Το παράδοξο της γραβάτας, Το παράδοξο του Simpson, Το ιατρικό παράδοξο, Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης, Μη μεταβατικά ζάρια
