✖

Paradoks dnia urodzin

Ile osób musi być w klasie albo na przyjęciu, żeby z prawdopodobieństwem co najmniej 50% znalazły się dwie, które mają urodziny tego samego dnia? Rok nas nie interesuje, liczy się tylko dzień i miesiąc. Większości ludzi intuicja podpowiada coś około 183, czyli połowę roku. Poprawna odpowiedź to 23.

Paradoksem jest to tylko na pozór. Żadnej sprzeczności tu nie ma, po prostu intuicja ciągnie nas w zupełnie złą stronę.

Dlaczego tak mało?

Słysząc pytanie o wspólne urodziny, zwykle myślimy o sobie: czy ktoś ma urodziny tego samego dnia co ja? Pytanie jednak dotyczy czegoś innego. Nie szukamy zgodności ze mną, ale zgodności między dowolnymi dwiema osobami w grupie.

Par w grupie powstaje przy tym dużo więcej, niż by się wydawało. W grupie 23 osób każda może utworzyć parę z 22 pozostałymi. Daje to 23 · 22, tyle że każdą parę policzyliśmy w ten sposób dwa razy (Anię z Piotrem i Piotra z Anią), więc par jest

23⋅222=253.

To dokładnie to samo co symbol Newtona (232). Każda para daje jedną szansę na zgodność, a 253 próby to już całkiem sporo.

Jak to obliczyć

Załóżmy, że rok ma 365 dni, 29 lutego pomijamy, a każdy dzień jest jednakowo prawdopodobny. W rzeczywistości liczba urodzeń w ciągu roku nieco się waha, ale na wynik prawie to nie wpływa.

Liczenie wprost, kiedy zgadzają się co najmniej dwie osoby, byłoby harówką. Zgodne mogą być dwie osoby, trzy, dwie różne pary… Pójdziemy więc okrężną drogą przez zdarzenie przeciwne: obliczymy prawdopodobieństwo, że wszyscy mają urodziny w różne dni, i odejmiemy je od jedynki.

Zaczniemy od trzech osób. Pierwsza może mieć urodziny dowolnego dnia, to 365365. Druga musi trafić w inny dzień niż pierwsza, zostają jej więc tylko 364 dni z 365. Trzeciej odpadają oba już zajęte dni, ma do wyboru 363 dni. Prawdopodobieństwa mnożymy:

365365⋅364365⋅363365≈0,9918

Prawdopodobieństwo, że dwie z trzech osób mają urodziny tego samego dnia, wynosi 1 − 0,9918 = 0,0082, czyli niecały procent.

Przy 23 osobach postępujemy tak samo, ułamków jest tylko więcej. Dwudziesta trzecia osoba ma do wyboru 365 − 22 = 343 dni:

365365⋅364365⋅363365⋅…⋅343365≈0,4927

Z prawdopodobieństwem około 0,4927 wszyscy mają urodziny w różne dni. Odejmujemy od jedynki:

1−0,4927=0,5073

Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z 23 osób mają urodziny tego samego dnia, wynosi około 50,7%. Przy 22 osobach jest to wciąż tylko 47,6%, więc 23 to najmniejsza liczba osób, przy której szansa przekracza połowę.

Prawdopodobieństwo P zgodności urodzin w zależności od liczby osób n

Z każdą kolejną osobą prawdopodobieństwo szybko rośnie. Dla 10 osób wychodzi około 12%, dla 30 około 71%, dla 50 około 97%, a dla 70 już ponad 99,9%. Jeśli w klasie siedzi trzydzieścioro dzieci i żadne dwoje nie ma urodzin tego samego dnia, to raczej łut szczęścia.

A co z moimi urodzinami?

Wróćmy do pytania, które ludziom przychodzi do głowy jako pierwsze: ile osób trzeba, żeby co najmniej jedna z nich miała urodziny tego samego dnia co ja?

Tu liczymy inaczej. Każda z n osób ma urodziny w inny dzień niż ja z prawdopodobieństwem 364365, i to niezależnie od pozostałych. Chcemy, żeby

1−(364365)n≥12.

Dla n = 252 wychodzi około 0,4991, co jeszcze nie wystarcza. Dla n = 253 wychodzi około 0,5005, więc potrzebujemy 253 osób. Swoją drogą, dokładnie tyle jest też par w grupie 23 osób. To nie do końca przypadek: 253 pary to 253 szanse na zgodność, tak samo jak 253 osoby porównywane ze mną. To, że wychodzi dokładnie ta sama liczba, jest jednak trochę dziełem szczęścia. Pary wzajemnie nieco na siebie wpływają i dlatego przy 23 osobach wychodzi 50,7%, a nie 50,05%.

Zobacz też

Rozdziały: Paradoks Monty’ego Halla, Paradoks dnia urodzin, Prawo Benforda, Probabilistyczny paradoks kłamcy, Paradoks krawatów, Paradoks Simpsona, Paradoks testu medycznego, Paradoks petersburski, Kości nieprzechodnie