Binomialformelen

Binomialformelen er en generalisering av de klassiske formlene av typen (a + b)² ved hjelp av kombinatoriske teknikker.

Motivasjon

Du kjenner sikkert formlene for å regne ut (a + b)² eller (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Og et naturlig spørsmål er om disse formlene kan generaliseres til et vilkårlig naturlig tall n, altså om vi kan regne ut (a + b)ⁿ?

Utledning

Selvsagt kan vi det, og det er nettopp det binomialformelen er til for. La oss se på hvordan denne utviklingen ville fortsatt for n = 4 og n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Nå bør du se et visst mønster. Hvis vi har uttrykket (a + b)ⁿ, begynner vi alltid på høyre side med leddet aⁿ. Det andre leddet inneholder også variabelen a, men eksponenten er én lavere. For eksempel: I utviklingen av (a + b)⁴ har vi på høyre side a⁴ i det første leddet og a³ i det andre. Hvert påfølgende ledd inneholder variabelen a med en eksponent som er én lavere enn i leddet før. Variabelen b vokser derimot. I begynnelsen har vi ikke variabelen b, eller rettere sagt, vi har den, men med eksponent null: b⁰ = 1. I det andre leddet har b eksponent én, så to osv.

Gjennom alt dette gjelder den enkle regelen at summen av eksponentene alltid må være lik n. Hvis vi tar utregningen (a + b)⁵ ovenfor, er for eksempel det tredje leddet 10a³ · b², og summen av eksponentene til variablene a og b er nettopp 5.

Det siste er hvilke koeffisienter (tallene foran variablene) hvert ledd får. Du legger sikkert merke til at koeffisientene er symmetriske: For (a + b)⁴ har vi koeffisientene 1, 4, 6, 4, 1, for (a + b)⁵ har vi: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Jeg minner om at a⁴ = 1 · a⁴, derfor skriver jeg enerne selv om jeg ikke oppgir dem eksplisitt i formlene. Den neste sammenhengen viser vi på Pascals trekant.

Pascals trekant

Pascals trekant er et nyttig hjelpemiddel når vi regner ut utviklingen etter binomialformelen. Pascals trekant er bygd opp av tall, og det gjelder at tallet som står under to andre tall, er lik summen av dem. Det høres kronglete ut, men av selve trekanten blir det klart:

Se for eksempel på tallet fire. Over dette tallet står tallene 1 og 3. Og summen 1+3 gir nettopp 4. Tilsvarende for de andre tallene.

Og hvordan bruker vi Pascals trekant? Når du ser på tallene i de enkelte radene, finner du ut at de minner deg sterkt om koeffisientene i den ferdige binomiske utviklingen. For eksempel har vi for (a + b)² koeffisientene 1, 2, 1, som er nøyaktig rad nummer to. For (a + b)⁴ har vi koeffisientene 1, 4, 6, 4, 1, som er nøyaktig rad nummer fire. Hvis vi trenger å regne ut (a + b)ⁿ, holder det å se på rad nummer n i Pascals trekant.

Binomialformelen

Formelt lyder binomialformelen slik:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

Summen regner vi fra null til n, inkludert. Det resulterende antallet ledd er altså n + 1. Uttrykket i parentesen er en binomialkoeffisient, som er noe fra kombinatorikken og representerer antall ulike kombinasjoner som vi kan få det aktuelle leddet i den binomiske utviklingen fra. Resten er bare variabler med passende eksponenter. Legg merke til at summen av eksponentene virkelig er lik n: n − k + k = n.

Eksempler

Et enkelt eksempel: Regn ut (a + 2b)⁴ ved hjelp av binomialformelen. Først ser vi i Pascals trekant på rad nummer fire. Den forteller oss at koeffisientene får formen: 1, 4, 6, 4, 1. Nå gjenstår det bare å fylle inn eksponentene etter tur. I det første leddet står det bare a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

I det andre leddet har vi eksponentene fordelt på paret 3, 1, altså får vi a³(2b)¹. Å opphøye i første gjør ingenting med uttrykket, så vi kan skrive a³2b. Koeffisienten i det andre leddet er 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Det tredje leddet får eksponentene 2, 2. Her må vi passe litt på, vi opphøyer hele 2b, altså slik: (2b)², som er lik: (2b)² = 4b². Vi skriver det inn i utviklingen med koeffisienten 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Det fjerde leddet får formen a(2b)³. Etter opphøyingen får vi a8b³. Vi skriver det inn med koeffisienten 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Og det siste leddet blir bare (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Nå gjenstår bare en liten opprydding. I leddet 4a³2b kan vi sette totallet først i leddet og multiplisere 2 · 4 = 8. Da får vi 8a³b. Hvis vi gjør det samme med resten, får vi resultatet:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Legg merke til at koeffisientene nå ikke lenger stemmer med tallene i Pascals trekant.