Grunnleggende statistikk

Statistikk er en vitenskap som prøver å undersøke virkelige data og, ved hjelp av sannsynlighetsteori, beskrive disse dataene.

Egen seksjon for statistikk

Dette er en gammel og utdatert artikkel, statistikk har nå en egen seksjon med innføringsartikkelen Grunnleggende begreper i statistikk.

Grunnleggende begreper

I statistikk arbeider vi med noen grunnleggende begreper, som vi beskriver her.

Først og fremst er det observasjonssettet (eller datamaterialet), som er en endelig mengde av data vi vil undersøke. Dataene kan være generelle, det kan i prinsippet være hva som helst. Hvis du vil undersøke gjennomsnittslønnen i Norge, er observasjonssettet mengden av alle mennesker i Norge. Antall elementer i observasjonssettet kalles antall observasjoner. Antall observasjoner i observasjonssettet vi har definert, ville dermed være lik antall innbyggere i Norge.

Videre finnes begrepet statistisk enhet, som er et konkret element i observasjonssettet. I vårt tilfelle ville den statistiske enheten være ett konkret menneske.

Til slutt har vi variabelen, som er det vi vil måle. I eksemplet vårt ville variabelen være lønnen. En variabel kan enten være kvalitativ eller kvantitativ. En kvantitativ (kvantitet = mengde, antall) variabel er en variabel som kan uttrykkes med tall (for eksempel akkurat lønnen, høyden, antall barn, …), mens en kvalitativ variabel kan uttrykkes med ord (farge, ja/nei, yrke, …).

Frekvenser

Frekvensen kan enten være relativ eller absolutt og forteller hvor mange verdier av en gitt variabel som forekommer i observasjonssettet — enten absolutt, eller relativt i forhold til det totale antallet elementer i settet.

Det er viktig at vi må anvende en variabel når vi regner ut frekvensen, for hvis vi ville regne ut den absolutte frekvensen til en statistisk enhet, måtte vi nødvendigvis komme fram til enten tallet null eller én, fordi observasjonssettet er en mengde og en mengde som sådan ikke tillater at det finnes flere like elementer i den.

Den absolutte frekvensen til verdien z av en variabel angir altså antall forekomster av verdien z i observasjonssettet S. Eksempel: La oss ha en klasse med ti elever. Hver elev fikk en karakter i matematikk på vitnemålet, fra én til seks. Karakterene er skrevet i den følgende tabellen:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 5& 1& 4& 5& 6& 6& 5& 3& 6& 4\end{array}$$

Merknad: Observasjonssettet for dette eksemplet ville være de ti klassekameratene, noe slikt som

$$S=\{\text{Lukas},\text{Ingrid},\text{Filip},\dots \}$$

I tabellen har vi for enkelhets skyld i første rad en tallidentifikator for eleven, i første rad står altså de statistiske enhetene, det vil si elementene i observasjonssettet. I andre rad har vi verdiene til variabelen, det vil si verdiene «karakter i matematikk» for den aktuelle eleven.

Den absolutte frekvensen til verdien (karakteren på vitnemålet) z = 4 ville dermed være lik to, bare to elever fikk karakteren 4 på vitnemålet (det er «elevene» 3 og 10). Den absolutte frekvensen til verdien z = 6 ville være tre («elevene» 5, 6 og 9).

Den relative frekvensen forteller hvor mange prosent av verdiene til variabelen i observasjonssettet som er lik verdien z. Den relative frekvensen til verdien z regner vi ut slik:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

der z_a er den absolutte frekvensen til verdien z og |S| er antall observasjoner i observasjonssettet, altså antall elementer. Den relative frekvensen til karakteren fire ville dermed være:

$$r_4=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Antall observasjoner i settet vårt er ti, for vi har ti elever i klassen. Prosentskrivemåten får vi ved å multiplisere med hundre, altså vi ville fått 20 %. Den relative frekvensen til karakteren seks ville være

$$r_6=\frac{3}{10}.$$

Aritmetisk gjennomsnitt

Det aritmetiske gjennomsnittet, eller ofte bare gjennomsnittet, er gjennomsnittet av alle verdiene i observasjonssettet. Med ordet verdi mener vi verdien etter at variabelen er anvendt. Gjennomsnittet regner vi ut ved at vi legger sammen alle verdiene og deler dem på antall verdier i settet. Altså omtrent slik:

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Jeg la også til et uttrykk ved hjelp av sum, i tilfelle du synes det er mer leselig. Men det forrige uttrykket med brøk holder. Verdiene x representerer alle verdiene i settet vårt.

Eksempel: Vi tar dataene fra den forrige tabellen og regner ut gjennomsnittskarakteren per elev.

$$\overline{x}=\frac{5+1+4+5+6+6+5+3+6+4}{10}=\frac{45}{10}=4,5$$

I klassen vår er gjennomsnittskarakteren 4,5. Som du ser, kan det aritmetiske gjennomsnittet gi oss også en verdi som egentlig slett ikke er gyldig — du kan ikke gi karakteren 4,5.

Det aritmetiske gjennomsnittet egner seg også dårlig når en del av dataene har en helt annen verdi enn resten av dataene. Så hvis vi har et sett med verdiene 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, får vi det aritmetiske gjennomsnittet

$$\overline{x}=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Vi ser at den resulterende verdien er langt fra alle verdiene i settet. Den er flere ganger større enn de seks første tallene og flere ganger mindre enn den siste verdien. Dette er et problem som for eksempel medianen kan løse, se videre. Nå vet du i alle fall hvorfor så mange ikke når opp til gjennomsnittslønnen — det finnes en liten gruppe mennesker som har svært høye lønninger, og de trekker det aritmetiske gjennomsnittet opp.

Geometrisk gjennomsnitt

Det geometriske gjennomsnittet regnes ut på samme måte som det aritmetiske gjennomsnittet, bare at vi i stedet for addisjon bruker multiplikasjon og i stedet for divisjon rot. Det geometriske gjennomsnittet regner vi altså ut slik:

$${\overline{x}}_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Det geometriske gjennomsnittet kan brukes som en indikator på vekst. Som eksempel antar vi at prisen på et produkt steg med 10 % i løpet av et år, med 15 % neste år og med 5 % året etter. Den opprinnelige prisen c var da etter de tre årene på verdien

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Det geometriske gjennomsnittet av disse faktorene ville være:

$${\overline{x}}_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Hva betyr det? At hvis prisen hvert år ble multiplisert med nøyaktig tallet 1,0992419 (altså økte med omtrent 9,92 %), ville sluttprisen ha samme verdi:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Typetall og median

Typetallet til en variabel er verdien som har den høyeste frekvensen, det betegnes Mod(x). Hvis vi går tilbake til eksemplet med karakterene, er typetallene verdiene 5 og 6, for de forekommer oftest — begge har absolutt frekvens 3.

Medianen er den midterste verdien, vi betegner den Med(x). Hvis vi kan ordne verdiene i en ikke-avtagende følge

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

representerer medianen verdien som ligger midt i denne følgen. Den midterste verdien er forskjellig avhengig av om følgen har et odde eller et like antall elementer. Hvis antallet er odde, er medianen elementet på plassen

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Hvis følgen har et like antall elementer, har den ikke noe element som ligger helt i midten (eksempel: følgen 1, 2, 3, 4 har rett og slett ikke noe midterste element). Derfor tar vi gjennomsnittet av de to midterste verdiene (gjennomsnittet av verdiene 2 og 3). Formelen for partall n er altså:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

La oss gå tilbake til eksemplet som illustrerte et dårlig brukt aritmetisk gjennomsnitt. Vi hadde et sett med verdiene s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Typetallet ville være lik to, det er det eneste tallet som gjentas. For å regne ut medianen ordner vi tallene i en følge:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Følgen har sju elementer, det midterste elementet er dermed a₄, og det er lik tre.