Tredørsproblemet

Tredørsproblemet, noen ganger også kalt Monty Hall-problemet, er en sannsynlighetsoppgave som har forvirret mange.

Oppgaven

La oss ha tre dører. Programlederen Monty Hall plasserer en bil bak én av dørene og en geit bak de andre dørene. Oppgaven din er å finne og velge døren med bilen bak. Nå ber han deg velge én av de tre dørene, la oss kalle dem A, B og C. Du velger én dør, la oss si B. Nå kommer programlederen inn i bildet. Av de gjenværende dørene, altså A, C, åpner han en dør med en geit bak — han avslører altså en dør som helt sikkert ikke fører til målet. La oss si at han åpner døren A.

Poenget med hele problemet ligger i det neste trinnet — programlederen tilbyr deg å endre valget ditt. Du valgte først døren B, så sa programlederen at det ikke er noen bil bak døren A, og tilbyr deg å bytte valget ditt til døren C. Men du kan også beholde det opprinnelige valget B.

Hvordan bestemmer du deg? Er det større sjanse for at bilen står bak døren B eller bak døren C? Eller er det likegyldig?

Løsning

Du har tre dører. Én dør er ute av spillet, så egentlig har du bare to dører igjen. Bak én av disse dørene står bilen helt sikkert. Om de to gjenværende dørene vet du ingenting, og du har ingen andre ledetråder. Så sannsynligheten er selvsagt 50 % for begge dørene.

Slik tenker mange, så ikke bekymre deg hvis du tenkte det samme. Men løsningen er selvsagt feil :-).

Riktig løsning

Det lønner seg å bytte valget til den døren som programlederen ikke har tatt ut. For å forstå det kan vi skrive ut sannsynlighetene fra begynnelsen. Når du først velger en dør, er sannsynligheten for at bilen står akkurat bak den, 1/3. Vi har ingen andre ledetråder, så sannsynligheten er jevnt fordelt, 1/3 for hver dør.

Så hvis du velger døren B, har du sjansen 1/3 for at bilen står bak den. Samtidig er det 2/3 sannsynlighet for at bilen står bak døren A eller C. Det er altså mer sannsynlig at bilen står bak en av dørene vi ikke valgte. Dette er viktig.

I neste trinn kommer programlederen inn og åpner en av dørene som ikke har bil bak. Programlederen åpner døren A. Bak døren A er det altså ingen bil. Hva skjer med sannsynligheten på 2/3? Vi vet at sannsynligheten for at bilen står bak døren A eller C er 2/3, og samtidig vet vi at den ikke står bak døren A. Sannsynligheten på 2/3 flyttes dermed over på døren C. Sjansen for at bilen står bak døren C, er 2/3.

Sjansen vår for døren B forblir imidlertid den samme, den har ikke endret seg på noen måte. Så vi har 1/3 sjanse for at bilen står bak døren B, som vi valgte, og 2/3 sjanse for at den står bak døren C, som vi kan bytte valget vårt til. Det er derfor fornuftig å bytte.

Flere dører

Eksemplet kan kanskje forstås bedre hvis vi øker antall dører og endrer oppgaven slik: La oss ha ti dører. I begynnelsen velger deltakeren én dør, og programlederen åpner alle dørene unntatt den vi valgte og den som har bilen bak. Oppgaven er praktisk talt den samme som i det forrige eksemplet, bare at når programlederen der åpnet alle dørene, åpnet han bare én dør, for flere kunne han ikke åpne.

I begynnelsen velger du døren 1. Sjansen for at bilen står bak den, er 1/10. Det er 9/10 sannsynlighet for at bilen står bak en annen dør. Deretter fjerner programlederen 8 dører som bilen helt sikkert ikke står bak, og du sitter igjen med bare to dører. Sjansen for at bilen står bak døren programlederen lot stå, er 9/10, mens sjansen for at den står bak døren du valgte, fortsatt er 1/10.

Flere kilder

• Wikipedia