Sannsynlighet

Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse forteller oss hvor stor sjanse vi har for at hendelsen inntreffer. Et typisk eksempel er å kaste en vanlig terning. Vi kan spørre «hva er sannsynligheten for at vi får en femmer?» Sannsynligheten oppgir vi enten som et tall fra intervallet [0, 1] eller i prosent, altså fra 0 % til 100 %.

Relaterte definisjoner

Om enhver gjentakbar handling som avhenger av tilfeldighet, sier vi at den er et tilfeldig forsøk. For eksempel er et terningkast eller en trekning i lotto 6 av 49 et tilfeldig forsøk. Videre trenger vi mengden av alle mulige utfall av det tilfeldige forsøket — det er alle mulighetene som kan inntreffe i det aktuelle forsøket. På en terning kan for eksempel tallene fra én til seks komme opp, så utfallsrommet, som vi betegner med Ω (omega), ville for en terning se slik ut: Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. I lotto 6 av 49 ville det være alle kombinasjonene som kan komme opp.

Enhver delmengde A ⊆ Ω kaller vi en (tilfeldig) hendelse. For eksempel ville vi skrive hendelsen «terningen viser et partall» som A = {2, 4, 6}. Hendelsen «terningen viser et tall større enn fem» ville vi skrive som A = {6}, og så videre. Hvis vi kaster terningen (= gjennomfører forsøket) og terningen viser tallet x, sier vi at hendelsen inntraff hvis x ∈ A, og ellers sier vi at hendelsen ikke inntraff. Hvis vi holder oss til hendelsen «terningen viser et partall» og får x = 2, er x ∈ A, altså 2 ∈ {2, 4, 6}, og hendelsen inntraff.

Det finnes to spesielle typer hendelser: den sikre og den umulige hendelsen. En hendelse er sikker hvis den inntreffer i hvert forsøk, noe som betyr at A = Ω. For terninger ville det være hendelsen «terningen viser et tall mindre enn 7». Den inntreffer helt sikkert. Det motsatte er den umulige hendelsen, den ville se ut som A = ∅, og i ord for eksempel «terningen viser en blomsterpotte». Riktignok kan en blomsterpotte falle ned fra bordet mens vi kaster terningen, men det kommer sikkert ikke en blomsterpotte på terningen, for der er det bare tallene 1 til 6.

Sannsynligheten for en hendelse

Sannsynligheten for en hendelse forteller oss hvor sterkt vi kan forvente at hendelsen inntreffer. De fleste av oss aner at terningen oftere viser et partall enn akkurat tallet fem. Sannsynligheten omsetter denne anelsen til eksakte tall. Først slår vi fast noen forutsetninger som vi kommer til å trenge.

La det for et tilfeldig forsøk gjelde:

• Det finnes bare endelig mange mulige utfall (altså Ω er en endelig mengde).
• To utfall kan ikke komme samtidig (altså kan vi ikke kaste tallet 3 og 6 på terningen samtidig).
• Hvert utfall er like sannsynlig (altså har vi like stor sjanse for å kaste 4 på terningen som for å kaste 6 eller 1).

De to første betingelsene er ganske naturlige, den siste er litt begrensende, men foreløpig klarer vi oss med den. Da kan vi si at sannsynligheten for hendelsen A, som vi betegner P(A), er lik

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

Med andre ord: antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall. (De loddrette strekene i formelen ovenfor betyr antall elementer i en mengde.) Sannsynligheten for å kaste et partall på terningen ville dermed være lik:

$$P(\text{partall})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Ofte oppgir vi sannsynligheten i form av prosent — vi tar bare sannsynligheten vi har regnet ut, multipliserer med hundre og setter på prosenttegnet: 0,5 · 100 % = 50 %. En sannsynlighet på femti prosent forteller oss egentlig at vi har like stor sjanse for at det kommer et partall som for at det ikke gjør det. Det gir mening når terningen har tre partall og tre oddetall.

Den sikre hendelsen har sannsynlighet 1, den umulige 0. Hvorfor? Vi sa at for en sikker hendelse J gjelder J = Ω, og for en umulig hendelse N gjelder N = ∅. Hvis vi setter disse hendelsene inn i formelen, får vi:

$$P(J)=\frac{|\mathrm{\Omega }|}{|\mathrm{\Omega }|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{0}{|\mathrm{\Omega }|}=0.$$

Løste eksempler

1. Hva er sannsynligheten for at terningen viser en femmer? Det er enkelt, mengden av alle gunstige utfall er bare A = {5}, mengden av alle utfall er fortsatt Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vi setter inn i formelen:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Hva er sannsynligheten for at terningen viser et tall som er delelig med tre? Vi må finne ut hvilke tall på terningen som er delelige med tre. Det er bare tallene 3 og 6, altså er mengden av gunstige utfall B = {3, 6}. Så som vanlig:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Nå prøver vi å kaste to terninger samtidig. Hva er sannsynligheten for at begge terningene viser en sekser? Først må vi regne ut Ω, altså mengden av alle utfall. Vi må telle alle mulighetene som kan inntreffe. Når den første terningen viser tallet 1, kan den andre vise tallet 1 til 6. Da har vi funnet seks muligheter. Når den første terningen viser tallet 2, kan den andre igjen vise tallene 1 til 6; da har vi funnet seks muligheter til. Og så videre for alle tallene som kan komme på den første terningen. Alle mulighetene ser da slik ut:

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Vi har til sammen seks rader, og i hver rad har vi seks muligheter. Vi får altså 6 · 6 = 36 muligheter som kan komme opp på terningene. Hvor mange av dem ligger samtidig i mengden av gunstige utfall? Bare én mulighet, nærmere bestemt (6, 6), for vi vil at det skal komme to seksere. Vi får dermed sannsynligheten:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Hva er sannsynligheten for at begge terningene viser samme tall når vi kaster to terninger? Antall mulige utfall er fortsatt 36, se forrige eksempel. Men hvor mange utfall er gunstige? Bare i seks tilfeller viser begge terningene samme tall: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Vi setter inn i formelen:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Hva er sannsynligheten for at den hvite terningen viser 3 og den svarte viser 5 når vi kaster to terninger, en hvit og en svart? Størrelsen på Ω er fortsatt 36. Hvordan ser mengden av gunstige utfall E ut? Den inneholder bare muligheten (3, 5), så sannsynligheten er lik

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Hva er sannsynligheten for at tallene 3 og 5 kommer opp når vi kaster to terninger, en hvit og en svart? Dette eksemplet ligner på det forrige, bare at vi ikke krever at tallet 3 kommer på den hvite terningen og tallet 5 på den svarte. På den ene terningen må det rett og slett komme 3, og på den andre tallet 5. Da får vi flere muligheter: I tillegg til (3, 5) har vi også muligheten (5, 3). Sannsynligheten for denne hendelsen F er dermed lik:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Hva er sannsynligheten for at minst én sekser kommer opp når vi kaster to terninger? Vi går fram steg for steg: Hvis det kommer en sekser på den første terningen, kan den andre terningen vise tallene 1 til 5. Det er fem muligheter. Hvis det kommer en sekser på den andre terningen, kan den første terningen vise tallene 1 til 5. Det er fem muligheter til. Og til slutt kan det komme en sekser på begge terningene — det er én mulighet til. Til sammen har vi altså 5 + 5 + 1 = 11 muligheter. Mengden av gunstige utfall G ser dermed slik ut: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Vi får sannsynligheten:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. I en klasse er det 30 elever. Hva er sannsynligheten for at eleven Henrik blir spurt i historie, hvis læreren spør to elever per time og ingen er spurt ennå? For å regne ut sannsynligheten må vi finne ut hvor mange ulike par av elever det finnes, og hvor mange ulike par av elever der Henrik er den ene i paret. Siden rekkefølgen læreren spør elevene i, ikke har noe å si, bruker vi kombinasjoner.

   Nå blir det enkelt. Vi har til sammen 30 elever, og vi spør hvor mange ulike par vi kan sette sammen av dem. Det leder oss til binomialkoeffisienten

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Og i hvor mange par er Henrik med? Hvis Henrik er den ene av de to, er det til sammen 29 elever igjen som Henrik kan danne par med (han kan ikke danne par med seg selv, derfor 30-1=29). Nå kjenner vi antall mulige og antall gunstige utfall, så vi setter inn i formelen:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Merknad: Antallet par kan vi regne ut også uten kombinasjoner. Hvordan kunne vi laget alle parene hvis vi har en klasse på 30 elever? Ved at vi alltid tar én elev og setter alle de andre sammen med ham etter tur. Det betyr at vi for eksempel tar Lukas og setter alle de andre elevene sammen med ham, altså lager 29 par. Dette gjør vi med hver elev, altså med alle 30 elevene. Vi får til sammen 30 · 29 = 870 par. Men hvert par har vi to ganger, én gang har vi paret (Lukas, Emma) og en gang til (Emma, Lukas) (avhengig av om det var Lukas som resten av klassen ble satt sammen med, eller han som ble satt sammen med Emma). Dette resultatet deler vi derfor til slutt på to og har det endelige resultatet: 870 / 2 = 435.

9. Hva er sannsynligheten for at vi trekker nøyaktig tre venstresko fra et skoskap med tolv par sko? Dette er et passende eksempel fra livet, det har du sikkert hatt bruk for å vite. Vi begynner med å regne ut hvor mange ulike tripler vi i det hele tatt kan trekke fra skoskapet. Til det trenger vi kombinasjoner, for rekkefølgen vi trekker skoene i, har ikke noe å si. Vi har til sammen 24 sko og vil trekke 3. Vi får binomialkoeffisienten:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Dermed har vi regnet ut at det finnes til sammen 2024 ulike kombinasjoner av tre sko som vi kan trekke fra skoskapet. Nå må vi regne ut hvilke kombinasjoner som er gunstige, altså hvilke kombinasjoner av tre sko som bare inneholder venstresko. Vi vet at det i skoskapet er til sammen 12 venstresko. Vi regner derfor bare ut hvor mange kombinasjoner vi kan lage av disse 12 skoene. Dette leder igjen til binomialkoeffisienten:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Det finnes altså 220 kombinasjoner som bare inneholder venstresko. Det er alt vi trenger å vite, nå setter vi bare inn i formelen:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Vi har altså omtrent ti prosent sjanse for at vi trekker tre sko og alle er venstresko.