Przekształcenia równoważne nierówności

Przy rozwiązywaniu nierówności używamy przekształceń równoważnych, czyli takich, które nie zmieniają prawdziwości nierówności. Chodzi o to, żeby doprowadzić nierówność do jakiejś prostszej postaci, z której już łatwo obliczymy wynik.

Co to jest nierówność

Mamy dane dwie funkcje f(x) i g(x). Nierównością nazywamy wtedy wyrażenie w jednej z tych postaci:

$$\begin{eqnarray} f(x) < g(x),&\quad& f(x) > g(x)\\ f(x)\le g(x),&\quad& f(x)\ge g(x) \end{eqnarray}$$

Rozwiązaniem nierówności są wszystkie x ze zbioru (zwykle) liczb rzeczywistych, dla których nierówność jest spełniona. Przykład nierówności: 6x<12. Tutaj f(x) = 6x i g(x) = 12. 6x to lewa strona nierówności, 12 to prawa strona. Rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie x mniejsze od dwóch: x<2, czyli przedział (−∞, 2).

Zamiana stron ze zmianą zwrotu nierówności

Przy równaniach mogliśmy bez obaw zamienić prawą stronę z lewą. W przypadku nierówności tak zrobić nie możemy. Jeśli mamy na przykład nierówność x<5, to nie może jednocześnie zachodzić 5 < x. W pierwszym przypadku x jest mniejsze od pięciu, w drugim x jest większe od pięciu. Jeśli jednak razem z zamianą stron zmienimy też zwrot nierówności, będzie to już przekształcenie równoważne.

Jeśli więc mamy nierówność f(x) < g(x), możemy też napisać g(x) > f(x). Zamieniliśmy strony, ale jednocześnie zamiast < napisaliśmy >. Podobnie jest z „mniejsze lub równe”: nierówność f(x)≤ g(x) możemy przekształcić do g(x)≥ f(x).

Dodanie wyrażenia

Do nierówności możemy dodać liczbę albo funkcję, która jest określona w tym samym zbiorze, w którym rozwiązujemy nierówność. Przykład: mamy nierówność x>0. Do tej nierówności możemy dodać na przykład liczbę trzy. Dostaniemy nierówność x + 3>3. To ma sens.

Podobnie możemy dodać całą funkcję. Jeśli mamy nierówność x > −3x + 7, możemy do niej dodać 3x i dostaniemy:

$$\begin{eqnarray} x& > &-3x+7\quad/+3x\\ x+3x& > &-3x+3x+7\\ 4x& > &7 \end{eqnarray}$$

Wyrażenie możemy oczywiście także odejmować — czyli inaczej dodać liczbę ujemną.

Mnożenie nierówności przez wyrażenie dodatnie

Nierówności nie możemy już tak po prostu pomnożyć przez dowolne wyrażenie, jak to było przy równaniach. Jeśli mnożymy przez wyrażenie, które jest zawsze dodatnie, wszystko jest w porządku. Ale jeśli mnożymy przez wyrażenie ujemne, musimy zmienić zwrot nierówności (zobacz następny rozdział). Oczywiście, tak samo jak przy równaniach, nie wolno mnożyć przez wyrażenie równe zeru!

Co to znaczy wyrażenie zawsze dodatnie? Najprostszym wyrażeniem, które jest zawsze dodatnie, jest liczba dodatnia. Jeśli więc mamy nierówność x>2, możemy ją pomnożyć przez dziesięć, które jest liczbą dodatnią, i prawdziwość nierówności się nie zmieni. Dostaniemy nierówność 10x>20. Oczywiście możemy też dzielić przez liczbę dodatnią, więc z tej przekształconej nierówności możemy, dzieląc przez pięć, otrzymać nierówność 2x>4.

Nie możemy jednak tak po prostu pomnożyć nierówności przez zmienną x, bo zmienna x może w ogólności przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, a to jest niedopuszczalne. Zdarzają się jednak sytuacje, w których x będzie zawsze dodatnie. Jeśli na przykład rozwiązujemy jakieś zadanie z geometrii, może się zdarzyć, że zmienna x będzie oznaczać długość jakiegoś odcinka. Długość nie może być ujemna (w najgorszym razie zerowa), więc jeśli wiemy, że x będzie równe długości jakiegoś odcinka, możemy pomnożyć nierówność przez zmienną x.

Kolejnym wyrażeniem, które jest zawsze nieujemne, jest kwadrat. Jeśli podniesiesz jakąś liczbę do kwadratu, wynik będzie dodatni (albo równy zeru). Jeśli więc mamy nierówność

$$\frac{1}{x^2}>2,$$

możemy ją pomnożyć przez wyrażenie x². Dostaniemy: 1>2x². Oczywiście pod warunkiem, że x nie jest równe zeru. Funkcji, które są zawsze dodatnie, jest więcej. Na przykład funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają zbiór wartości <−1,1>. To nie jest zawsze dodatnie. Ale jeśli dodamy do nich dwójkę, dostaniemy zbiór wartości <1, 3>, a to już jest przedział dodatni. Przez taką funkcję moglibyśmy nierówność pomnożyć. Jeśli więc mielibyśmy nierówność

$$\frac{x+3}{\cos(x)+3}\le 3x-5,$$

możemy ją całą pomnożyć przez wyrażenie cos(x)+3, bo to jest funkcja zawsze dodatnia. Dostaniemy:

$$x+3\le(3x-5)(\cos(x)+3).$$

Mnożenie nierówności przez wyrażenie zawsze ujemne

Z liczbami i wyrażeniami ujemnymi sytuacja jest bardziej skomplikowana. Przyjrzyj się przykładowi: 1<2. Ta nierówność na pewno jest prawdziwa. Co się stanie, jeśli całą nierówność pomnożymy przez minus jeden? Dostaniemy −1<−2. Czy ta nierówność jest prawdziwa? Nie jest, minus dwa jest mniejsze od minus jeden. Mnożenie przez liczbę ujemną najwyraźniej nie jest przekształceniem równoważnym nierówności.

Jeśli jednak przy mnożeniu przez liczbę ujemną jednocześnie zmienimy zwrot nierówności, to już będzie przekształcenie równoważne. Jeśli nierówność 1<2 pomnożymy przez −1 i jednocześnie zamiast < napiszemy >, wykonamy przekształcenie równoważne i otrzymamy nierówność −1>−2.

Mnożenie przez liczby ujemne jest proste, gorzej jest z mnożeniem przez wyrażenia (funkcje). Dlaczego nie możemy pomnożyć nierówności przez zmienną x? Bo gdyby zmienna przyjmowała wartości dodatnie, zwrot nierówności by się nie zmieniał. Gdyby przyjmowała wartości ujemne, musielibyśmy zmienić zwrot. W ogólności mogą zajść oba przypadki: jeśli x nie jest w żaden sposób ograniczone, zmienna może być zarówno ujemna, jak i dodatnia. Przykład:

$$\frac{1}{x}>1$$

Złym sposobem byłoby pomnożenie nierówności przez zmienną x. Dostalibyśmy bowiem 1>x, czyli rozwiązaniem byłyby wszystkie x mniejsze od jedynki (oczywiście jeszcze z warunkiem, że x jest różne od zera). Co jednak, jeśli do pierwotnej nierówności podstawimy za x liczbę −1? Dostaniemy:

$$\begin{eqnarray} \frac{1}{-1}&>&1\\ -1&>&1 \end{eqnarray}$$

a to na pewno nie jest prawda. Dlatego nie możemy tak po prostu pomnożyć nierówności przez zmienną x.

Podobnie jednak jak w poprzednim rozdziale mieliśmy wyrażenia, które są zawsze dodatnie, możemy mieć wyrażenia, które są zawsze ujemne. Najprościej dostaniemy je tak, że przed wyrażenie zawsze dodatnie wstawimy minus. W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że funkcja cos(x)+3 jest zawsze dodatnia. Jeśli przed całe wyrażenie wstawimy minus, dostaniemy funkcję zawsze ujemną: −(cos(x)+3).

Potęgowanie i pierwiastkowanie nierówności (wykładnik naturalny)

Podniesienie nierówności do potęgi nie jest w ogólności przekształceniem równoważnym, podobnie jak przy równaniach. Przyjrzyj się takiej nierówności: x>−2. Co się stanie, jeśli podniesiemy ją do kwadratu? Dostaniemy: x²>4. Czy to jest nierówność równoważna? Co się stanie, gdy do obu nierówności podstawimy za x zero? W pierwszym przypadku mamy 0>−2, co jest prawdą. W drugim przypadku mamy 0>4, co prawdą nie jest. Nie wykonaliśmy więc przekształcenia równoważnego.

Kiedy możemy podnieść nierówność do potęgi o wykładniku naturalnym? Gdy obie strony są nieujemne (dodatnie albo równe zeru). Wtedy nie będzie już żadnego problemu. Przykład:

$$\begin{eqnarray} 5&>&2\quad/^2\\ 25&>&4 \end{eqnarray}$$

Innym przykładem może być wartość bezwzględna, która zawsze daje liczbę nieujemną. Tę nierówność możemy więc bez obaw podnieść do kwadratu:

$$\begin{eqnarray} |x|&<&3\quad/^2\\ |x|^2&<&9 \end{eqnarray}$$

Dokładnie tak samo jak potęga zachowuje się pierwiastek. Jeśli obie strony są nieujemne, możemy nierówność spierwiastkować pierwiastkiem stopnia naturalnego. Poprzednią nierówność możemy więc ładnie spierwiastkować z powrotem do pierwotnej postaci:

$$\begin{eqnarray} |x|^2&<&9\quad/\sqrt{ }\\ |x|&<&3 \end{eqnarray}$$

Usuwanie zbędnych wyrażeń

Często rozwiązujemy nierówność postaci f(x)>0. Zdarza się wtedy, że funkcja f jest skomplikowana i dałoby się ją uprościć, pomijając niektóre wyrażenia. Przyjrzyj się takiej nierówności: 2x>0. Ta nierówność jest oczywiście spełniona wtedy, gdy x>0. Jeśli x jest ujemne, to 2x też jest ujemne. Jeśli pomnożymy liczbę ujemną przez dwa, liczba pozostanie ujemna. Dwójka nie ma siły, żeby po pomnożeniu zmienić znak wyrażenia, które za nią stoi.

Możemy jeszcze spróbować rozwiązać nierówności 5x>0, 157x>0 i π x>0. We wszystkich przypadkach rozwiązanie będzie takie samo: x>0. Dodatni współczynnik przy x w żaden sposób nie zmienia prawdziwości nierówności.

Formalnie pozbywamy się takich współczynników, dzieląc nierówność przez dany współczynnik, o tak:

$$\begin{eqnarray} 2x&>&0\quad/:2\\ x&>&0 \end{eqnarray}$$

Uwaga: żebyśmy mogli usunąć dodatni współczynnik, oznaczmy go a, musi on koniecznie mnożyć całą lewą stronę. Z nierówności 2x + 7>0 nie możemy usunąć dwójki, bo dwójka nie mnoży całej lewej strony. Możemy jednak podzielić całą nierówność przez dwa i dostaniemy nierówność x + 3,5>0.

Podobnie w tym przykładzie:

$$x^2\cdot(x-3)>0$$

Może to wyglądać na skomplikowane, ale wyrażenie x² jest zawsze nieujemne, więc nie zmieni nam znaku nawiasu, który za nim stoi. To wyrażenie możemy więc z nierówności usunąć — podzielimy nierówność przez x² i dostaniemy:

$$x-3>0$$

Musimy tylko dodać warunek, że x²≠0, bo nie można dzielić przez zero. Jednak x² jest równe zeru tylko wtedy, gdy x jest równe zeru, a dla x = 0 nierówność nie jest spełniona. Dostajemy bowiem (x = 0): 0(0 − 3)>0, a 0>0 nie jest prawdą.

Nie jest to żadna specjalna metoda, to tylko sprytne zastosowanie poprzedniego punktu o mnożeniu i dzieleniu przez wyrażenie dodatnie.