Paradoksy teorii mnogości

Naiwna teoria mnogości zawiera kilka ciekawych paradoksów, które w końcu doprowadziły do opracowania dokładniejszej teorii mnogości. Paradoksy te często opierają się na tym, że w klasycznej, naiwnej teorii mnogości zbiór może zawierać sam siebie jako swój element.

Paradoks Russella

Do najbardziej znanych paradoksów należy paradoks Russella. Możemy go sformułować tak: weźmy zbiór N, który zawiera dokładnie te zbiory, które nie zawierają samych siebie jako swojego elementu. Czyli jeśli zbiór zawiera sam siebie jako swój element, to nie należy do zbioru N. Jeśli nie zawiera sam siebie, to do zbioru N należy.

Pytanie brzmi: czy zbiór N zawiera jako swój element zbiór N, czyli sam siebie?

Rozpatrzmy oba przypadki. Jeśli zbiór N nie zawiera N, to jest zbiorem, który nie zawiera sam siebie, i powinien należeć do zbioru N, czyli powinno zachodzić N ∈ N.

Jeśli jednak zbiór N zawiera element N, to nie powinno zachodzić N ∈ N, bo zbiór N zawiera tylko te zbiory, które nie zawierają samych siebie jako swojego elementu.

Paradoks polega więc na tym, że zawsze naruszymy któryś z warunków. Jeśli N ∈ N, to przeczy to definicji zbioru N (zawiera on tylko zbiory, które nie zawierają samych siebie, a tutaj N najwyraźniej zawiera N jako swój element), a jeśli nie zachodzi N ∈ N, to znowu naruszamy definicję N.

Takiego zbioru nie możemy więc zbudować, a to w poprawnej teorii mnogości nie powinno się zdarzyć.

Paradoks Russella ma też kilka naturalnych interpretacji. Na przykład paradoks golibrody. W mieście jest golibroda, który goli dokładnie tych ludzi, którzy nie golą się sami. Nasuwa się pytanie: czy golibroda goli sam siebie?

Paradoks Cantora

Kolejnym paradoksem jest paradoks Cantora. Opiera się on na tym, że jeśli mamy zbiór M, to jego zbiór potęgowy P(M) (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M) ma zawsze większą moc, jest większy. W przypadku zbiorów skończonych widać to na pierwszy rzut oka, dla zbiorów nieskończonych da się to łatwo udowodnić. To stwierdzenie nazywa się zresztą twierdzeniem Cantora.

Sam paradoks jest już prostszy niż poprzedni. Wyobraźmy sobie zbiór wszystkich zbiorów i oznaczmy go M. Czyli dla dowolnego zbioru N zachodzi N ∈ M. Ale według twierdzenia Cantora moc zbioru potęgowego P(M) jest większa niż moc M. To jednak przeczy temu, że M zawiera wszystkie zbiory – jeśli zbiór P(M) jest większy niż M, to musi zawierać elementy, których zbiór M nie zawiera.