✖

Skąd się wzięła liczba Eulera

Liczba Eulera to, obok na przykład liczby π, jedna z najbardziej znanych stałych matematycznych. Opowiemy sobie, jak do tej liczby doszliśmy i co oznacza.

W siedemnastym wieku szwajcarski matematyk Jakub Bernoulli zainteresował się procentem składanym. Wyobraźmy sobie, że mamy jedną złotówkę i wpłacamy ją do banku, który oferuje oprocentowanie 100% w skali roku. Z punktu widzenia banku to czyste szaleństwo, ale czego się nie robi dla dobra matematyki. Ile pieniędzy będziemy mieć na koncie dokładnie po roku? No, dwa złote.

Jak zmieniłaby się sytuacja, gdyby bank zaproponował oprocentowanie 50%, ale z kapitalizacją co pół roku? Byłoby to dla nas korzystniejsze, czy mniej korzystne?

Po pierwszym półroczu mielibyśmy o połowę więcej. „O połowę więcej” zapisujemy w matematyce jako $x \cdot (1+\frac12)$. Za x podstawiamy nasz wkład, czyli jedną złotówkę, i obliczamy

$$1\cdot \left(1+\frac12\right)=1{,}5$$

Po pół roku mamy na koncie 1,5 zł. Po drugim półroczu mielibyśmy znowu o połowę więcej. Użyjemy tego samego wzoru, tylko za x podstawimy nowe saldo, czyli 1,5:

$$1{,}5\cdot \left(1+\frac12\right)=2{,}25$$

Po roku mamy więc na koncie 2,25 zł. Częstsza kapitalizacja z niższym oprocentowaniem jest więc dla nas korzystna.

Kapitalizacja co miesiąc

A gdyby bank dopisywał odsetki co miesiąc, ale oprocentowanie spadłoby do jednej dwunastej pierwotnego? Uff, tu już się trochę naliczymy. Jakie saldo będziemy mieć po pierwszym miesiącu? Będziemy mieć „o jedną dwunastą więcej”, co zapisujemy jako $x \cdot (1+\frac{1}{12})$. Po pierwszym miesiącu będziemy więc mieć:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1{,}0833333\dots$$

Po drugim miesiącu będziemy mieć

$$1{,}0833333\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1{,}17361111\dots$$

Zauważ jednak, że zamiast liczby 1,0833333 możemy użyć zapisu $1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)$, bo wiemy, że te liczby są sobie równe:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1{,}17361111\dots$$

Po trzecim miesiącu będziemy mieć na koncie:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)=1{,}27141203$$

Jak widzisz, nasze obliczenia układają się w pewien wzór. Wyrażenie w nawiasie powtarza się w nich tyle razy, ile wynosi numer miesiąca, który akurat liczymy. Poprzednie wyrażenie możemy uprościć tak, że zamiast trzech jednakowych nawiasów napiszemy jeden i podniesiemy go do trzeciej potęgi:

$$1\cdot \left(1+\frac{1}{12}\right)^3=1{,}27141203$$

A mnożenie przez jedynkę na początku też jest zbędne, więc je usuniemy:

$$\left(1+\frac{1}{12}\right)^3=1{,}27141203$$

Jeśli teraz chcemy obliczyć saldo po dwunastu miesiącach, wystarczy w wykładniku zamiast trójki wpisać liczbę 12:

$$\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}=2{,}6130352$$

Po dwunastu miesiącach mamy na koncie około 2,6130352 zł. Nieźle! I to dużo lepiej niż przy rocznym oprocentowaniu 100%.

Kapitalizacja ciągła

Nie musimy zatrzymywać się na miesiącach. Ile mielibyśmy, gdybyśmy dopisywali odsetki co tydzień, przy oprocentowaniu równym $\frac{1}{52}$ pierwotnego? Wzór już znamy, więc tylko podstawiamy:

$$\left(1+\frac{1}{52}\right)^{52}=2{,}6925969$$

Kapitalizacja codzienna?

$$\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}=2{,}7145674$$

Co godzinę? (Rok ma 8760 godzin)

$$\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760}=2{,}718126$$

Widzimy, że za każdym razem, gdy weźmiemy niższe oprocentowanie i będziemy dopisywać odsetki częściej, na końcu mamy na koncie trochę więcej pieniędzy. Ale przyrosty nie są już takie duże. Tak moglibyśmy ciągnąć w nieskończoność. Właściwie to wcale nie jest zły pomysł — moglibyśmy dopisywać odsetki co minutę, co sekundę, co milisekundę, co nanosekundę… aż doszlibyśmy do stanu, w którym dopisujemy je bez przerwy. Mielibyśmy ciągłe, maleńkie oprocentowanie, którym w każdej chwili pomnażalibyśmy saldo. Ile pieniędzy mielibyśmy w takim przypadku na koncie po roku?

Z powrotem do liczby Eulera

I właśnie to próbował obliczyć Jakub Bernoulli. Na swoje nieszczęście mu się to nie udało, a udało się dopiero w XVIII wieku sławnemu matematykowi Leonhardowi Eulerowi. Obliczył on, że po roku mielibyśmy na koncie

$$2{,}71828182845904523536028747135\dots$$

złotych. Widzisz, że to już niewiele więcej niż wtedy, gdy dopisywaliśmy odsetki co godzinę. A ponieważ okazało się, że ta kwota, ta liczba, jest bardzo ważna w różnych działach matematyki, do dziś nazywamy ją liczbą Eulera (w Polsku także liczbą Nepera) i oznaczamy literą e. Liczba Eulera jest liczbą niewymierną, czyli liczbą o nieskończonym i nieokresowym rozwinięciu dziesiętnym. Podobnie jak na przykład liczba π. Nigdy więc nie zobaczysz jej w całości. Mimo to możemy liczbę Eulera dokładnie zdefiniować za pomocą granicy funkcji:

$$e=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Źródła i linki