Liczby algebraiczne
Liczbę, która jest pierwiastkiem jakiegoś wielomianu o współczynnikach całkowitych, nazywamy liczbą algebraiczną. Co to oznacza w praktyce? Możemy wziąć dowolną liczbę i zagrać z nią w taką matematyczną grę. Celem gry jest wziąć jakąś liczbę x i sprowadzić ją do zera, przy czym wolno nam używać tylko dodawania, odejmowania, mnożenia i potęgowania, a do przekształceń możemy używać wyłącznie liczb całkowitych. Na przykładach od razu będzie to jaśniejsze.
Na początek weźmy liczbę 42. Jak ją przekształcić, żeby otrzymać zero? Możemy odjąć od niej liczbę całkowitą 42 i dostaniemy zero (mnożenie przez zero jest zabronione):
$$\large42-42=0$$
Ponieważ liczbę 42 udało się sprowadzić do zera, liczba 42 jest algebraiczna. To było dość banalne. A co z jakimś ułamkiem, na przykład $\frac73$? Skoro możemy pracować tylko z liczbami całkowitymi, nie wolno nam odjąć od tego ułamka $\frac73$, żeby dostać zero. Musimy sobie poradzić inaczej. Najpierw pomnożymy ułamek przez trzy:
$$\large3\cdot\frac73=\frac{3\cdot7}{3}=7$$
Otrzymaliśmy liczbę całkowitą, a tę już umiemy sprowadzić do zera: odejmiemy siedem. Możemy więc napisać
$$\large3\cdot\frac73-7=0$$
i powiedzieć, że ułamek siedem trzecich też jest liczbą algebraiczną. Weźmy jeszcze bardziej skomplikowaną liczbę, pierwiastek z dwóch: $\sqrt2$. Tu nie pomoże nam żadne mnożenie ani dodawanie, najpierw musimy pozbyć się pierwiastka. Podniesiemy wyrażenie do kwadratu:
$$\large\left(\sqrt2\right)^2=2$$
Otrzymaliśmy liczbę całkowitą, którą umiemy sprowadzić do zera, odejmiemy dwa:
$$\large\left(\sqrt2\right)^2-2=0$$
Także pierwiastek z dwóch, który jest liczbą niewymierną, jest liczbą algebraiczną. Na razie wygląda na to, że każda liczba, jaką wypróbujemy, jest algebraiczna. A co na przykład z liczbą Eulera e? Ona też jest niewymierna, więc podobnie jak pierwiastek z dwóch ma nieskończone i nieokresowe rozwinięcie dziesiętne. Jej przybliżona wartość to 2,71. W odróżnieniu od pierwiastka z dwóch nie ma jednak sposobu, żeby za pomocą działań, na które sobie pozwoliliśmy, sprowadzić ją do zera. Czy liczbę Eulera do czegoś dodamy, przez coś pomnożymy, czy podniesiemy do potęgi, zawsze dostaniemy kolejną liczbę niewymierną. Liczba Eulera nie jest więc liczbą algebraiczną, hurra!
Podobnie liczbą algebraiczną nie jest liczba pi, czyli ludolfina (3,14).
Takie liczby, które nie są algebraiczne, nazywamy przestępnymi.
Dokładniejsza definicja
Dla każdej liczby algebraicznej musi więc istnieć wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest właśnie ta liczba algebraiczna. Pierwiastek wielomianu to taka liczba, dla której wielomian jest równy zeru. Gdy wrócimy do powyższych przykładów, to dla liczby 42 otrzymalibyśmy równanie
$$x-42=0$$
a ponieważ pierwiastkiem wielomianu x − 42 jest właśnie x = 42, oznacza to, że 42 jest liczbą algebraiczną. Dla liczby wymiernej $\frac73$ byłoby to równanie
$$3x-7=0$$
bo pierwiastkiem wielomianu 3x − 7 jest właśnie $x = \frac73$. I wreszcie dla pierwiastka z dwóch otrzymalibyśmy
$$x^2-2=0$$
bo pierwiastkiem wielomianu x2 − 2 jest właśnie pierwiastek z dwóch. Dla liczby Eulera ani dla liczby pi takiego równania czy wielomianu ułożyć nie umiemy, bo są to liczby przestępne, a nie algebraiczne.
Przykłady liczb algebraicznych
- Każda liczba całkowita jest też algebraiczna.
- Każda liczba wymierna (ułamek) jest algebraiczna.
- Z liczbami niewymiernymi jest już trudniej. Jak widzieliśmy, niektóre liczby niewymierne są algebraiczne, na przykład pierwiastek z dwóch, ale inne nie, jak liczba Eulera.
- Każdy pierwiastek n-tego stopnia z liczby całkowitej jest liczbą algebraiczną.
- Liczba złotego podziału jest liczbą algebraiczną.