✖

Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby, które nie mają części ułamkowej. Należą do nich liczby naturalne, liczby do nich przeciwne (ujemne) oraz zero.

Własności

Latające liczby

Liczby całkowite tworzą zbiór, który zawiera liczby …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Zbiór ten oznaczamy zwykle literą Z z podwójną środkową kreską: ℤ. Pochodzi to od niemieckiego słowa „Zahlen” (liczby). W polskich podręcznikach spotkasz też oznaczenie C. Zbiór liczb całkowitych jest nieskończony i przeliczalny.

Liczby całkowite mają na przykład takie własności:

  1. Zbiór liczb całkowitych jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie, tak samo jak liczby naturalne. Oznacza to, że gdy dodamy dwie liczby całkowite, znowu otrzymamy liczbę całkowitą.
  2. W odróżnieniu od zbioru liczb naturalnych zbiór liczb całkowitych jest zamknięty także ze względu na odejmowanie. Zbiór liczb naturalnych nie był, bo różnicą dwóch liczb naturalnych mogła być liczba ujemna. W liczbach całkowitych to nam nie przeszkadza, bo liczby ujemne do nich należą.
  3. Tak samo jak zbiór liczb naturalnych nie jest zamknięty ze względu na dzielenie. Nadal może się zdarzyć, że po podzieleniu otrzymamy liczbę, która nie jest całkowita.
  4. Do każdej liczby całkowitej c istnieje liczba przeciwna −c. Jeśli mamy liczbę 10, liczbą przeciwną jest −10. Dla 55 jest to −55. Tak samo z liczbami ujemnymi: dla −13 elementem przeciwnym jest 13. Jeśli mamy liczbę całkowitą c i liczbę do niej przeciwną −c, to ich suma daje zero: c+(−c) = 0. Dlatego elementem przeciwnym do zera jest znowu zero.

Liczby parzyste i nieparzyste

Liczby całkowite możemy podzielić na liczby parzyste i nieparzyste. Liczby parzyste to liczby podzielne przez dwa, czyli 2, −4, −8, 40, 124 itd. Liczby nieparzyste dają przy dzieleniu przez dwa resztę jeden, czyli są to liczby −1, 1, 5, 19, −41 itd. Zauważ, że parzystość i nieparzystość rozróżniamy naprawdę także u liczb ujemnych (czyli liczba −5 jest naprawdę nieparzysta) i że zero jest liczbą parzystą.

Własności ze względu na dodawanie: gdy dodasz dwie liczby parzyste, znowu otrzymasz liczbę parzystą. Pozostałe własności pokazuje poniższa tabelka:

$$\begin{eqnarray} \mbox{parzysta}+\mbox{parzysta}&=&\mbox{parzysta}\\ \mbox{parzysta}+\mbox{nieparzysta}&=&\mbox{nieparzysta}\\ \mbox{nieparzysta}+\mbox{nieparzysta}&=&\mbox{parzysta} \end{eqnarray}$$

Podobna tabelka dla mnożenia:

$$\begin{eqnarray} \mbox{parzysta}\cdot\mbox{parzysta}&=&\mbox{parzysta}\\ \mbox{parzysta}\cdot\mbox{nieparzysta}&=&\mbox{parzysta}\\ \mbox{nieparzysta}\cdot\mbox{nieparzysta}&=&\mbox{nieparzysta} \end{eqnarray}$$

Dzielenie z resztą

Także w zbiorze liczb całkowitych możemy, podobnie jak w liczbach naturalnych, zdefiniować dzielenie z resztą, musimy tylko poradzić sobie z liczbami ujemnymi. Podstawowa definicja wygląda tym razem tak:

$$a=q\cdot b+r,\qquad a,q\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}-\left\{0\right\}, 0\le r<|b|$$

W tym wyrażeniu dzielimy a:b, liczba q to wynik dzielenia (iloraz), a liczba r to reszta z dzielenia. Liczba b musi być różna od zera, bo przez zero dzielić nie można. Reszta musi być nieujemna i mniejsza od wartości bezwzględnej z b, dzięki czemu definicja działa także wtedy, gdy dzielimy przez liczbę ujemną.

Jak takie dzielenie wygląda w praktyce? Spróbujmy podzielić −21:4. Liczby wyglądałyby wtedy tak:

$$-21=-6\cdot4+3$$

Wynik (iloraz) to −6, a reszta to 3. Może cię zaskoczyć, że wynik jest inny niż w przypadku, gdy wszystkie liczby są dodatnie:

$$21=5\cdot4+1$$

Tutaj wynik (iloraz) to 5, a reszta to 1. Różnica tkwi właśnie w liczbach ujemnych. W liczbach dodatnich w pierwszym kroku szukamy największej liczby całkowitej, która nie jest większa od 21 i jest podzielna przez cztery bez reszty. To liczba 20. Dlatego dzielimy 20:4 = 5 i dostajemy naszą piątkę. Resztę otrzymujemy potem jako różnicę 21 − 20.

W liczbach ujemnych postępujemy tak samo. Szukamy największej liczby, która nie jest większa od −21 i jest podzielna bez reszty przez 4. Liczba −20 jest jednak większa od −21. Dlatego największą liczbą, która nie jest większa od −21 i jest podzielna bez reszty przez 4, jest liczba −24. Resztę znowu otrzymujemy jako różnicę −21−(−24) = −21 + 24 = 3.

Powiązane artykuły