Nieskończoność

Nieskończoność to abstrakcyjne pojęcie, którego właściwie nie da się nawet wyobrazić. Sama nieskończoność nie ma końca, stąd zresztą jej nazwa, ale ogólna nieskończoność nie ma też początku (możemy ją jednak doprecyzować, na przykład półprosta też jest nieskończona, a ma początek). Nieskończoność zwykle zapisuje się tak zwaną „leżącą ósemką” – ∞.

Liczymy z nieskończonościami

Nieskończoność jest trochę podobna do zera, które też jest pod wieloma względami szczególne i obowiązują dla niego szczególne zasady. Na przykład przez zero nie możesz dzielić, to wie chyba każde małe dziecko (a przy okazji, znasz ten dowcip? Jaka jest najlepsza wymówka, kiedy nie masz zadania domowego z matematyki? „Proszę pani, przez przypadek zacząłem dzielić przez zero i spalił mi się zeszyt…” ;o)).

Podobnie jak cokolwiek razy zero to zero, zachodzi też, że cokolwiek razy nieskończoność albo cokolwiek plus nieskończoność to nieskończoność. Jeśli od nieskończoności odejmiesz dowolnie dużą liczbę, zawsze zostanie ci nieskończoność. Tak samo, jeśli będziesz próbować nieskończoność podzielić. Nieskończoność jest po prostu tak wielka, że nawet jeśli co sekundę będziesz od niej odejmować miliony, i tak zawsze zostanie ci nieskończoność. Czasem trudno to zrozumieć, weźmy na przykład takie równanko: ∞ + 1 = ∞. Zachodzi czy nie?

Logika podpowiada, że lewa strona równania jest większa: jeśli do nieskończoności dodam jedynkę, to całe to wyrażenie musi być większe niż sama nieskończoność. Wcale nie musi :-). Jak już mówiłem, nieskończoność plus cokolwiek to nieskończoność. Czyli nieskończoność plus jeden to nieskończoność, a nieskończoność równa się nieskończoności. Równanie zachodzi.

Można też pójść inną drogą, przez granice. Weźmy teraz ułamek 1/x, obliczmy granicę prawostronną przy x→0⁺ i załóżmy, że zeszyt nam się nie spalił. Taka granica byłaby równa nieskończoności. Jeśli do tego wyrażenia dodasz jedynkę, dostaniesz wyrażenie (1+x)/x i granica przy x→0⁺ znowu byłaby nieskończonością.

Zabawa zaczyna się, gdy zaczniemy nieskończoności bardziej ze sobą łączyć. Na przykład ile wynosi wyrażenie nieskończoność minus nieskończoność? Logika podpowiada, że odejmujemy od siebie dwie tak samo duże liczby, więc wynikiem będzie zero. Mówiłem też, że jeśli od nieskończoności odejmiemy dowolną liczbę, wynikiem znowu będzie nieskończoność. Z kolei jeśli od dowolnej liczby odejmiemy nieskończoność, wyjdzie nam minus nieskończoność. Jak więc z tego wybrnąć? Wszystkie wyniki są teoretycznie możliwe. Matematyka mówi, że wyrażenie ∞ −∞ nie równa się niczemu konkretnemu, jest to tzw. symbol nieoznaczony. To podobny przypadek jak próba dzielenia przez zero – po prostu nie ma to sensu. Jeśli trafisz na taki symbol nieoznaczony, musisz je w jakiś sposób przekształcić (przy niektórych rodzajach symboli nieoznaczonych można wykorzystać na przykład regułę de l’Hospitala [czytaj „de lopitala”]).

Inne symbole nieoznaczone:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• $1^∞$

Przy okazji: obowiązują jednak podstawowe zasady dotyczące znaków, na przykład −1 · ∞ równa się minus nieskończoność.

Chcesz zwariować?

To weź się za teorię mnogości i policz, który zbiór jest większy. Na przykład czy większy jest zbiór liczb parzystych, czy nieparzystych? Parzystych czy naturalnych? Naturalnych czy całkowitych? Parzystych czy całkowitych? Naturalnych czy wymiernych? Odpowiedź brzmi: wszystkie są tak samo duże. Choć może się to wydawać dziwne (liczb całkowitych musi być przecież więcej niż nieparzystych), są to zbiory tej samej wielkości. Za to zbiór liczb rzeczywistych jest większy niż wymienione zbiory. Sam diabeł by się w tym nie wyznał ;-)