Sprowadzenie do postaci kanonicznej

Metodą sprowadzenia do postaci kanonicznej, czyli uzupełniania do pełnego kwadratu, możemy zapisać funkcję kwadratową ax² + bx + c w postaci (x + m)² + n.

Algorytm sprowadzenia do postaci kanonicznej

Algorytm wykorzystuje klasyczny wzór na podniesienie nawiasu do kwadratu:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Postępujemy następująco. Na razie załóżmy, że a = 1. Wyobraźmy sobie, że mamy funkcję kwadratową f(x) = x² + 6x + 1 i chcemy ją przekształcić do postaci (x + m)² + n. Najpierw wyznaczymy liczbę m w nawiasie (x + m)². Jaką liczbę musimy podstawić za m? Ze wzoru musi zachodzić równość (x + m)² = x² + 2mx + m². W funkcji f mamy x², to się zgadza. Ale na miejscu wyrazu liniowego mamy 6x. Jaką wartość musi mieć m, żeby zachodziło 6x = 2mx? Oczywiście musi być m = b/2 = 6/2 = 3. Za liczbę m zawsze podstawiamy więc połowę wartości liczby b z funkcji kwadratowej.

Otrzymaliśmy w ten sposób postać (x + 3)² + n. Zostaje wyznaczyć liczbę n. Wiemy już, że zachodzi (x + m)² = x² + 2mx + m². Część x² + 2mx jest nam potrzebna, ale wyrażenie m² jest tam zbędne, w funkcji f nie ma żadnego odpowiednika. Dlatego od obecnego wyniku odejmiemy m². Dostaniemy postać (x + m)² − m², która po wymnożeniu jest równa x² + 2mx + m² − m². Po odjęciu mamy więc tylko x² + 2mx.

W funkcji f mamy jednak jeszcze wyraz wolny c. Ten po prostu dodamy. Dostaniemy postać (x + m)² − m² + c, po wymnożeniu x² + 2mx + m² − m² + c, a po uproszczeniu x² + 2mx + c. Ponieważ m = b/2, to wyrażenie jest równe x² + bx + c, czyli po wymnożeniu wyrażenia (x + m)² − m² + c dostajemy z powrotem pierwotną funkcję – policzyliśmy dobrze. (Powtarzam, że a = 1, więc nigdzie go nie brakuje).

Dla przykładowej funkcji f dostajemy więc postać kanoniczną (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Możemy spróbować wymnożyć je z powrotem:

$$\begin{eqnarray} (x+3)^2-8&=&x^2+6x+9-8\\ &=&x^2+6x+1 \end{eqnarray}$$

Sprowadzenia do postaci kanonicznej używa się na przykład wtedy, gdy chcesz narysować wykres funkcji kwadratowej. W szkole zapisuje się ją zwykle jako a(x − p)² + q; nasze m i n odpowiadają p = −m i q = n, a punkt (−m, n) jest wierzchołkiem paraboli.

Gdy a≠1

Jeśli mamy funkcję, dla której nie zachodzi a = 1, to wyłączamy liczbę a przed nawias z całej funkcji i postępujemy tak, jak już umiemy. Przykład:

$$2x^2+16x-12=0$$

Z całej funkcji wyłączamy dwójkę przed nawias:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=0$$

Funkcję w nawiasie umiemy już przekształcić do postaci kanonicznej.

$$x^2+8x-6=(x+4)^2-16-6=(x+4)^2-22$$

Ten wynik podstawiamy do poprzedniego równania i dostajemy:

$$2\cdot(x^2+8x-6)=2\left((x+4)^2-22\right)=2(x+4)^2-44$$