Pole powierzchni prostopadłościanu

Prostopadłościan to bryła podobna do sześcianu, której ściany są prostokątami, ewentualnie kwadratami. Zobaczmy, jak taki prostopadłościan wygląda:

Jeśli chcemy obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu, musimy obliczyć pola wszystkich jego sześciu ścian i je dodać. Przy tym ściany leżące naprzeciw siebie mają zawsze takie samo pole. Jeśli krawędzie prostopadłościanu mają długości a, b, c, jak na rysunku, to pole powierzchni prostopadłościanu jest równe

$$\Large P=2ab+2ac+2bc$$

co możemy jeszcze uprościć do wzoru

$$\Large P=2(ab+ac+bc)$$

Skąd wzięliśmy ten wzór?

Musimy dodać pola wszystkich ścian. Na początek możemy wziąć te dwie przeciwległe ściany:

Te ściany to prostokąty ABGH i CDEF. Użyjemy więc wzoru na pole prostokąta, czyli pomnożymy długości boków prostokąta. Pole prostokąta ABGH obliczymy zatem jako iloczyn

$$\Large P_{\small{ABGH}}=|AB|\cdot|BG|$$

Pole drugiego prostokąta CDEF obliczymy jako

$$\Large P_{\small{CDEF}}=|CD|\cdot|DF|$$

Możemy jednak zauważyć, że bok AB ma taką samą długość jak bok CD, a bok BG taką samą jak bok DF. Pola obu prostokątów będą więc równe. Zatem pole dwóch zaznaczonych ścian prostopadłościanu wynosi

$$\Large P_1=2\cdot|AB|\cdot|BG|$$

Następnie obliczymy pole dwóch ścian bocznych:

Wiemy, że obie ściany mają takie samo pole. Obliczymy więc pole prostokąta BGFD jako

$$\Large P_{\small{BGFD}}=|BG|\cdot|GF|$$

Pole obu ścian będzie wtedy równe

$$\Large P_2=2\cdot|BG|\cdot|GF|$$

Zostaje nam jeszcze pole przedniej i tylnej ściany:

Pole prostokąta ABCD będzie równe

$$\Large P_{\small{ABCD}}=|AB|\cdot|BD|$$

a pole całej zaznaczonej powierzchni wyniesie

$$\Large P_3=2\cdot|AB|\cdot|BD|$$

Pole powierzchni całego prostopadłościanu obliczymy, dodając wszystkie pola częściowe:

$$\Large P=P_1+P_2+P_3$$