Pole powierzchni ostrosłupa

Ostrosłup to bryła, która wygląda jak piramida. Ma podstawę, na której stoi, a do tego kilka trójkątnych ścian bocznych. Podstawą jest jakiś wielokąt. Zobaczmy, jak taki ostrosłup może wyglądać:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

To jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Prawidłowy jest dlatego, że jego podstawą jest wielokąt foremny, a czworokątny dlatego, że podstawą jest czworokąt – w tym przypadku kwadrat (przymknij trochę oko, żeby ten kwadrat tam zobaczyć 😆) – i w związku z tym ostrosłup ma cztery trójkątne ściany boczne. Pole powierzchni ostrosłupa obliczymy, wyznaczając pole podstawy i pola ścian bocznych. Zaczniemy od pola podstawy:

Ponieważ powiedzieliśmy, że podstawą jest czworokąt foremny – innymi słowy kwadrat – użyjemy wzoru na pole kwadratu:

$$\Large P_\square=a^2$$

To było łatwe. Teraz przyjdzie gorsza część – pole trójkątnej ściany. Obliczmy pole ściany ABF:

Ściana ABF jest trójkątem, i to nie byle jakim – trójkątem równoramiennym:

Żeby obliczyć pole trójkąta równoramiennego, musimy znać wysokość trójkąta. Kiedy znamy wysokość h tego trójkąta, czyli wysokość ściany bocznej, możemy obliczyć jego pole jako

$$\Large P_\triangle=\frac{a\cdot h}{2}$$

To jest więc pole jednej ściany bocznej naszego ostrosłupa czworokątnego. Pole wszystkich czterech ścian bocznych będzie równe

$$\Large P_{4\triangle}=4\cdot\frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Teraz możemy obliczyć pole powierzchni całego ostrosłupa – dodamy pole podstawy i pola ścian bocznych:

$$\Large P=P_\square+P_{4\triangle}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego n-kątnego

Ostrosłup oczywiście nie musi być tylko czworokątny, może być na przykład sześciokątny:

Jak obliczylibyśmy pole powierzchni takiego ostrosłupa? Pole jednej ściany bocznej obliczamy wciąż tak samo:

$$\Large P_\triangle=\frac{a\cdot h}{2}$$

Ale ponieważ nie mamy czterech ścian, tylko sześć, pomnożymy to pole przez sześć. Jeśli mamy ostrosłup n-kątny, pomnożymy przez n:

$$\Large P_{n\triangle}=n\cdot\frac{a\cdot h}{2}$$

Pole podstawy obliczymy następnie ze wzoru na pole n-kąta foremnego:

$$\Large P_{n\diamond}=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

gdzie a jest długością krawędzi podstawy, a r odległością środka wielokąta od jego boku. Cały wzór wyglądałby tak:

$$\Large P = n\cdot\frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Możemy go jeszcze uprościć do

$$\Large P = n\cdot\left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

A dalej do

$$\Large P = n\cdot a\cdot\frac{h+r}{2}$$