Pole wielokąta foremnego

Wielokątem foremnym jest na przykład kwadrat — to wielokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty równe. Tak wygląda na przykład ośmiokąt foremny:

Jak obliczylibyśmy pole takiego ośmiokąta foremnego, gdy znamy długość jego boku? Dla przykładu przyjmijmy, że bok ma długość a = 10. Pomożemy sobie tak, że podzielimy ośmiokąt na osiem przystających trójkątów:

W ten sposób ułatwiliśmy sobie pracę — teraz wystarczy obliczyć pole jednego z trójkątów i pomnożyć je przez osiem, a otrzymamy pole całego ośmiokąta. Co wiemy o tych trójkątach? Są to trójkąty równoramienne — dwa boki wychodzące ze środka S mają zawsze tę samą długość, a bok ośmiokąta ma inną (tylko sześciokąt możemy podzielić na trójkąty, które mają wszystkie boki równej długości). Długość boku FS jest więc taka sama jak długość boku ES.

Jaki kąt tworzą one przy wierzchołku S? Czyli na przykład: jaką miarę ma kąt $\angle FSE$? Widzimy, że wszystkie trójkąty są takie same, więc wszystkie kąty przy wierzchołku S muszą mieć tę samą miarę. Wiemy też, że gdy dodamy miary wszystkich tych kątów, otrzymamy 360 stopni — jeden pełny obrót. Miara kąta $\angle FSE$ musi więc być równa 360 podzielone przez liczbę kątów, czyli przez liczbę trójkątów.

$$\Large \angle FSE = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$$

Ponieważ suma wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta jest równa $180^\circ$, a nasz trójkąt jest równoramienny, dwa pozostałe kąty muszą mieć tę samą miarę $67,5^\circ$:

Jak teraz obliczymy pole trójkąta równoramiennego? Długość boku FE znamy z treści zadania, to |FE| = 10. Narysujmy wysokość trójkąta, która przechodzi przez punkt S:

Ten odcinek SP_s podzielił nam trójkąt na dwa mniejsze trójkąty, które znów są takie same — tylko odbite jak w lustrze. Poprzestawiajmy trochę te trójkąty. Weźmiemy trójkąt FSP_s i przeniesiemy go tak, żeby powstał prostokąt:

Ten prostokąt SF₁EP_s ma takie samo pole jak nasz trójkąt FSE. Przy tym pole prostokąta obliczamy jako iloczyn długości dwóch jego boków:

$$\Large P_\square = |h_s|\cdot |P_sE|$$

Długość odcinka P_sE znamy, to połowa długości boku FE, a ten ma długość (według treści zadania — to bok ośmiokąta) |FE| = 10. Odcinek P_sE ma więc długość |P_sE| = 5. Gorzej jest z wysokością h_s. Ponieważ trójkąt P_sSE jest trójkątem prostokątnym, możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Kąt $\angle P_sSE$ ma połowę miary pierwotnego kąta $\angle FSE$, czyli

$$\large \angle P_sSE = \frac{\angle FSE}{2}=\frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$

Teraz wykorzystamy to, że cotangens kąta jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej przyległej do przyprostokątnej przeciwległej. Dla przejrzystości oznaczmy kąt $\angle P_sSE$ grecką literą α:

$$\Large \operatorname{ctg}\ \alpha = \frac{|h_s|}{|P_sE|}$$

Z tego równania musimy wyznaczyć |h_s|, więc pomnożymy całe równanie przez |P_sE| i otrzymamy:

$$\Large \operatorname{ctg}\ \alpha\cdot|P_sE|=|h_s|$$

Teraz już wiemy, ile wynosi wysokość. Podstawmy wartości:

$$\begin{eqnarray} |h_s|&=& \operatorname{ctg}\ \alpha\cdot|P_sE|\\ &\approx&2{,}414\cdot5\\ &\approx&12 \end{eqnarray}$$

Wysokość ma długość około 12. Pole prostokąta, a więc i trójkąta, jest równe

$$\Large P_\triangle=|h_s|\cdot|P_sE|$$

Po podstawieniu mamy:

$$\Large P_\triangle=12\cdot5=60$$

Pole jednego trójkąta wynosi mniej więcej 60. Ponieważ mamy łącznie osiem trójkątów, pole ośmiokąta foremnego o boku długości a = 10 jest równe w przybliżeniu

$$\Large P=8\cdot P_\triangle = 480$$

Jak otrzymać z tego wzór? Dla dowolnego n-kąta foremnego o boku długości a zachodziłoby

$$\large P = n\cdot P_\triangle$$

Zostaje nam ogólny wzór na $P_\triangle$:

$$\large P_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \operatorname{ctg}\ \alpha\cdot\frac{a}{2}$$

Kąt α to połowa miary kąta, jaki trójkąt tworzy przy środku S, czyli

$$\large \alpha = \frac{360^\circ}{n\cdot2}=\frac{180^\circ}{n}$$

Podstawiamy z powrotem:

$$\large P_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \operatorname{ctg}\ \frac{180^\circ}{n}\cdot\frac{a}{2}$$

I jeszcze trochę uporządkujemy:

$$\large P_\triangle =\frac14\cdot a^2 \cdot \operatorname{ctg}\ \frac{180^\circ}{n}$$

W ostatnim kroku wystarczy pomnożyć tę wartość przez liczbę boków n-kąta i mamy wzór końcowy:

$$\large P =\frac14\cdot a^2\cdot n \cdot \operatorname{ctg}\ \frac{180^\circ}{n}$$