Equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau é uma equação que contém uma incógnita elevada ao quadrado. Se a equação contém uma incógnita elevada a um expoente maior que dois, então ela já não é uma equação do 2º grau.

Descrição da equação do 2º grau

A forma geral da equação do 2º grau é a seguinte:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Os valores a, b, c são números reais e o valor a é diferente de zero. Outras denominações:

ax² é chamado de termo de 2º grau,
bx é chamado de termo de 1º grau,
c é chamado de termo independente.

Toda equação do 2º grau pode ser levada à forma geral por meio de transformações equivalentes ou de outras transformações. Um exemplo de equação do 2º grau pode ser esta equação:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Uma pergunta mais complicada já pode ser se esta também é uma equação do 2º grau:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

Em lugar nenhum se vê x² e no segundo membro não há zero. Resolvemos o segundo membro de forma simples: subtraímos sete e obtemos a forma

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

Ainda não temos x². Eliminamos os parênteses e obtemos:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Agora já temos x². Depois de somar, obtemos finalmente a forma geral da equação do 2º grau:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

E o exemplo a seguir: é uma equação do 2º grau? Pode ser levada à forma geral?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

A resposta é que não. Se multiplicarmos a equação inteira pela variável x para nos livrarmos da variável no denominador da fração, obtemos:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Agora já temos x³, o que não pode haver em uma equação do 2º grau.

Existem tipos especiais de equações do 2º grau, dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c.

Valores dos coeficientes

Para os próximos capítulos, é absolutamente essencial que você saiba determinar cada um dos coeficientes a, b e c. Comecemos por um exemplo simples. Determine os coeficientes da equação 3x² + 4x + 7 = 0. Aqui é fácil: a = 3, b = 4 e c = 7.

E a equação 3x² − x + 2 = 0, por exemplo? Os valores de a e c são claros, a = 3 e c = 2, mas e o b? Seria um erro escrever que b = 1. Imagine que na frente desse x há um um, assim: 3x² − 1x + 2 = 0. Agora já fica mais visível que b = −1.

Outro exemplo interessante: x² − 3 = 0. Aqui, de novo, pode surgir um problema com o coeficiente b; os outros são evidentes: a = 1 e c = −3. Qual é o valor do coeficiente b? O termo de 1º grau não aparece nessa equação, é o mesmo que escrever a equação na forma x² + 0x − 3 = 0. Então vale b = 0.

Um exemplo mais complicado:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

Nessa equação há duas pegadinhas. Não há termo independente, então c = 0. O termo de 2º grau é claro, então a = 5. Mas e esse maldito b? Podemos transformar a equação um pouco mais, colocando em evidência a variável x nas duas expressões, assim:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

O coeficiente b é, de novo, o que está “na frente” da variável x, então o parêntese inteiro é igual ao coeficiente b = (3 + π). Uma equação parecida:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

Os dois primeiros coeficientes são evidentes: a = −1 e b = 4. Qual é o termo independente? São as expressões restantes, nas quais não há x. Então vale $c = 1 - \sqrt{2}$ . Não tenha medo da raiz quadrada, ela não morde, é um número normal.

E quais são os valores nesta equação? (x + 1)(x + 2) = −2x. Primeiro precisamos levar a equação à forma geral. Eliminamos os parênteses e obtemos

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

e por fim somamos 2x à equação para obter zero no segundo membro:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

Os valores já são evidentes: a = 1, b = 5, c = 2.

Equação do 2º grau incompleta com b = 0

Se b = 0, trata-se de uma equação do 2º grau incompleta, que se resolve de modo parecido com as equações do 1º grau. Essa equação tem, portanto, a forma geral:

$a x^{2} + c = 0$

Como b = 0, todo o termo de 1º grau bx desaparece da equação, porque 0x = 0. Resolvemos a equação subtraindo primeiro o termo independente. Ou seja, subtraímos da equação o valor c. Com isso obtemos:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

Em seguida dividimos a equação pelo número a. Obtemos a forma:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

E por fim extraímos a raiz quadrada da equação inteira. Para isso, a fração do segundo membro não pode ser negativa, porque não é possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. Obtemos o resultado:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Observe que obtemos dois resultados, um positivo e outro negativo. Isso ficará mais claro num exemplo. Vamos calcular a equação

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Seguindo o procedimento, primeiro subtraímos o termo c. Atenção: o termo c é, neste caso, negativo, então subtraímos um número negativo, ou seja, somamos um positivo. Somamos, portanto, +8 à equação inteira (o objetivo é levar o oito para o segundo membro). Obtemos a forma:

$2 x^{2} = 8$

Em seguida, pelo procedimento, dividimos a equação pelo número a, que é o dois. Depois da divisão, obtemos a forma:

$x^{2} = 4$

Agora extraímos a raiz quadrada.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Por que há também menos dois? Porque menos dois vezes menos dois é quatro. Podemos olhar também a solução gráfica: vemos que o gráfico da função 2x² − 8 cruza o eixo x exatamente nos pontos x₁ = −2 e x₂ = 2.

Solução gráfica da equação 2x^2-8=0

Resolva a equação

$80 x^{2} - 5 = 0.$

Somamos cinco à equação:

$80 x^{2} = 5$

Dividimos por 80:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

Simplificamos a fração:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Extraímos a raiz quadrada:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Equação do 2º grau incompleta com c = 0

Outro caso específico da equação do 2º grau ocorre quando o termo independente c é igual a zero. A equação tem a forma geral:

$a x^{2} + b x = 0$

Esse tipo de equação se resolve colocando em evidência a incógnita:

$x (a x + b) = 0.$

Aqui já se vê um resultado bem claro. De novo obtemos duas raízes da equação, mas uma delas será sempre igual a zero. O primeiro membro inteiro está, de fato, na forma de um produto de duas expressões: x e o parêntese (ax + b). Quando esse produto é igual a zero? Se pelo menos uma dessas expressões é igual a zero. O primeiro membro é igual a zero, portanto, em dois casos:

$x = 0 ou a x + b = 0.$

O primeiro resultado da equação, então, já temos: é o zero. Obtemos o outro resolvendo a equação do 1º grau ax + b = 0. Pelo artigo sobre equações do 1º grau, sabemos que essa equação tem exatamente uma solução, que é igual a:

$x = - \frac{b}{a}$

Assim, já podemos escrever o resultado da equação do 2º grau ax² + bx = 0 inteira:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Exemplo:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

Colocamos x em evidência:

$x (6 x + 3) = 0$

A primeira solução é x = 0. Encontramos a segunda solução resolvendo a equação do 1º grau 6x + 3 = 0:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

Escrevemos o resultado:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

De novo podemos olhar o gráfico da função, que cruza o eixo x exatamente nesses pontos:

Gráfico da função 6x^2+3x

Outros métodos de resolução

Essas foram as técnicas básicas para tipos específicos de equações do 2º grau. A equação do 2º grau geral se resolve pelo discriminante. Entre outros tipos de equações está a equação do 2º grau com parâmetro.

Calculadora

Digite os coeficientes a, b e c da equação geral ax² + bx + c = 0 e a calculadora vai calcular o discriminante e as raízes. Você também a encontra separadamente como calculadora de equação do 2º grau.

Capítulos: Equação do 2º grau, Discriminante, Equação do 2º grau com parâmetro, Equação do 2º grau no conjunto dos números complexos

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