Fatorial

O fatorial do número n é igual ao produto de todos os números naturais positivos menores ou iguais a n. O fatorial se escreve com um ponto de exclamação n!. Sendo que, para o zero, vale: 0! = 1. O fatorial é usado principalmente na análise combinatória, na qual, com ele, se calculam, por exemplo, as permutações. Por exemplo, o fatorial de cinco seria igual a 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definição de fatorial

Podemos definir o fatorial de várias maneiras. A mais simples é provavelmente esta:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{se n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{caso contrário}\end{array}$$

Também podemos apresentar a definição por meio de um produtório:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Ou ainda por meio de uma integral:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Cálculos com fatoriais

Os fatoriais aparecem com frequência em frações. Aqui se usa o fato de que n! = n · (n − 1)!. Isso vale pela definição, e vamos mostrá-lo com um exemplo. Sabemos que o fatorial de quatro, 4!, é igual ao produto destes números naturais: 4 · 3 · 2 · 1. Ao mesmo tempo, podemos escrever que o produto 3 · 2 · 1 é igual ao fatorial de três: 3 · 2 · 1 = 3!. Então podemos escrever o fatorial de quatro como 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Graças a isso, podemos simplificar com eficiência muitos fatoriais diferentes em frações. Um exemplo — simplifique a expressão:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Fazemos a simplificação de acordo com a fórmula que mencionei há pouco. No numerador, podemos decompor o fatorial em n · (n − 1)! e, pela mesma fórmula, ainda podemos decompor isso em n · (n − 1) · (n − 2)!. Agora já podemos simplificar a fração de forma elegante:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Outro exemplo:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

E o último exemplo de fatorial:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$