Discriminante

O discriminante é um polinômio com o qual podemos calcular a solução de uma equação do 2º grau geral ou determinar se a equação tem solução e quantas soluções tem.

Fórmula e relações básicas

Primeiro vamos recordar a forma geral da equação do 2º grau:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

em que a, b, c são números reais. Calculamos o discriminante, que vamos chamar de Δ, assim:

$Δ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Exemplo: seja a equação do 2º grau 3x² + 5x − 7 = 0. Para essa equação vale: a = 3, b = 5, c = −7. Calculamos o discriminante assim:

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

O resultado é, portanto, 109. O que esse número nos diz? Se o discriminante resultar…

positivo, a equação tem duas raízes reais e distintas,
nulo, a equação tem duas raízes reais iguais,
negativo, a equação não possui raízes reais. No entanto, tem solução no conjunto dos números complexos.

Como calcular as raízes da equação do 2º grau

Com o discriminante podemos calcular diretamente as raízes da equação do 2º grau. A fórmula para calcular as raízes (fórmula de Bhaskara) é esta:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a},$

em que Δ é o discriminante. A fórmula completa, com o discriminante desenvolvido, fica assim:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Vamos usar essa fórmula para calcular as raízes da equação do 2º grau x² + 7x + 12 = 0. Primeiro calculamos o discriminante:

$Δ = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

O discriminante deu positivo, então a equação tem duas raízes reais distintas. Calculamos a primeira raiz. Primeiro vamos somar a raiz quadrada do discriminante e, no segundo passo, vamos subtraí-la:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

A primeira raiz deu −3. Calculamos a segunda raiz subtraindo a raiz quadrada:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Agora já temos as duas raízes da equação, x₁ = −3 e x₂ = −4.

Para dominar esse procedimento, é indispensável saber determinar corretamente os valores de a, b e c. Como determiná-los corretamente foi descrito no primeiro artigo sobre equações do 2º grau.

E o que essa solução significa graficamente, como aparece no gráfico? Se desenharmos o gráfico da função que está no primeiro membro da equação, descobriremos que o gráfico dessa função quadrática cruza o eixo x em dois pontos: nos pontos x₁ = −3 e x₂ = −4.

Gráfico da função y=x^2+7x+12

Discriminante nulo

Se o discriminante resultar em zero, isso significa que a equação tem solução, mas apenas uma; ou melhor, duas, mas iguais. Exemplo: resolva a equação x² − 10x + 25 = 0. Calculamos o discriminante:

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

Calculamos a raiz como no capítulo anterior, com a fórmula. Mas, como o discriminante é nulo, desaparece da fórmula o mais ou menos a raiz de Δ, porque estaríamos somando ou subtraindo zero.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Obtivemos uma raiz dupla, x = 5. O que isso significa graficamente? Que o gráfico da função dada toca o eixo x em exatamente um ponto, o seu vértice.

Gráfico da função y=x^2-10x+25

Discriminante negativo

Se obtemos um discriminante negativo, a equação do 2º grau não tem solução no conjunto dos números reais. Podemos resolver a equação no conjunto dos números complexos, mas isso ficará para o próximo artigo. Como exemplo, vamos tentar resolver esta equação do 2º grau: x² + x + 1 = 0. Discriminante:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

A equação do 2º grau não tem, portanto, solução no conjunto dos números reais. Você pode conferir: o polinômio x² + x + 1 será positivo para todos os números reais. Por exemplo, se você substituir x por um, obtém: 1 + 1 + 1 = 3. Se x = −1, temos 1 − 1 + 1 = 1. Se x = 0, temos 0 + 0 + 1 = 1. E de modo semelhante para outros números. Você também pode observar o gráfico da função y = x² + x + 1, que nunca cruza o eixo x.

Gráfico da função y=x^2+x+1

Relações de Girard

Já sabemos calcular a solução de uma equação do 2º grau. Mas qual é a relação entre as raízes? Vamos tentar somar as duas soluções x₁ e x₂:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{Δ} - b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Se somarmos as raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, obtemos o quociente −b/a. O que acontece se multiplicarmos as raízes?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{Δ} - b \cdot \sqrt{Δ} - Δ}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Então, se multiplicarmos as raízes, obtemos o número c/a. E essas são as relações de Girard (soma e produto das raízes). Mais uma vez, juntas:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Observe que no denominador da fração há sempre a expressão a. Um caso especial é a equação do 2º grau para a qual vale a = 1. Então podemos escrever as relações de Girard assim:

$\begin{array}{rcl} se a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Podemos aproveitar isso na busca das soluções de equações do 2º grau. Em vez de calcular o discriminante de forma trabalhosa, podemos ver se conseguimos encontrar números x₁ e x₂ para os quais valem as relações acima. Exemplo: encontre a solução da equação x² + 8x + 15 = 0. Vale que a = 1, então podemos usar as relações de Girard mais simples. Procuramos números x₁ e x₂ tais que:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Se nos limitarmos aos números inteiros, temos no total quatro maneiras de obter 15 como produto:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Agora precisamos que a soma dos números do primeiro membro nos dê −8. Apenas um par dá essa soma, a saber, −3 e −5. Esses números são, portanto, a solução da equação do 2º grau. Podemos tentar substituí-los na equação; deve dar zero:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Confere. Se você conhece as raízes, também pode escrever a equação numa forma mais legível. Se x₁ e x₂ são as raízes da equação ax² + bx + c = 0, então, se a = 1, você pode reescrever a equação na forma

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

Assim, a equação anterior pode ser reescrita na forma:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Capítulos: Equação do 2º grau, Discriminante, Equação do 2º grau com parâmetro, Equação do 2º grau no conjunto dos números complexos

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