Dados não transitivos

Imagine que você tem três dados de seis faces, com números quaisquer escritos neles. Pode acontecer de, no dado A, sair com mais frequência um número maior do que no dado B, no dado B sair com mais frequência um número maior do que no dado C e no dado C sair com mais frequência um número maior do que no dado A?

Transitividade

Transitividade é um conceito das relações binárias. Dizemos que uma relação R em M é transitiva se, para todos a, b, c ∈ M, vale que, se (a, b) ∈ R e ao mesmo tempo (b, c) ∈ R, então (a, c) também está em R.

No caso dos dados, poderíamos ter a relação “ser um dado melhor” no sentido de que o dado A é melhor que o dado B se no dado A sai com mais frequência um número maior do que no dado B. Então a transitividade ficará assim: se o dado A é melhor que o dado B e, ao mesmo tempo, o dado B é melhor que o dado C, então o dado A também precisa ser melhor que o dado C. Isso é verdade?

Vamos tentar encontrar um contraexemplo, isto é, três dados que sejam melhores de forma cíclica. O dado A será melhor que o dado B, o dado B será melhor que o dado C e o dado C será melhor que o dado A. Consideramos sempre apenas dados de seis faces.

Exemplo

Um exemplo são estes três dados:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Qual é a probabilidade de sair no dado A um número maior do que no dado B? Existem 36 pares diferentes em que os dados podem cair. Se no dado B sai o primeiro 1, então no dado A sai sempre um número maior. Ou seja, temos 6 pares em que no dado A sai um número maior. Se em B sai o segundo 1, temos mais 6 pares em que em A sai um número maior. Se sai um dos 6, em A precisa sair um dos 9. São mais 4 possibilidades. Se sai um dos 8, em A precisa sair um dos 9. Novamente 4 possibilidades. No total temos 6 + 6 + 4 + 4 = 20 possibilidades. A probabilidade de sair em A um número maior é, assim, 20/36 = 5/9, o que é aproximadamente 56%.

Agora B contra C. Se em C sai um dos 3, em B precisa sair um dos 6 ou um dos 8. São 2 · 4 = 8 possibilidades. Se sai 5, em B precisa sair novamente 6 ou 8, então de novo 8 possibilidades. Se sai 7, em B precisa sair 8, 4 possibilidades. No total 8 + 8 + 4 = 20. A probabilidade é de novo 5/9.

Por fim, C contra A. Se em A sai 2, tudo de C é maior. São 12 possibilidades. Se sai 4, em C pode sair 5 ou 7. São 8 possibilidades. Se sai 9, estamos sem sorte. No total isso dá 12 + 8 = 20 possibilidades e obtemos novamente a probabilidade 5/9.

Dados de Efron

Os dados de Efron são outro caso de um conjunto de dados que não são transitivos em relação à relação “ser um dado melhor”. Eles têm estes números:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Nesse caso, vale que um dado vence o seguinte sempre com probabilidade 2/3. Por exemplo, quando no dado A sai 4, ele vence o dado B. Quando sai 0, perde. E no dado A sai 4 com probabilidade 2/3. Da mesma forma para os outros dados.

Existem também outras variantes dos dados de Efron. Algumas que têm o mesmo valor médio por lançamento (por exemplo, o dado A tira em média o número 8/3, enquanto C tem média mais alta, 10/3) ou algumas em que todos os números naturais de 1 a 24 são divididos entre eles.