Mängder

En mängd kan ses som en samling element. Varje mängd innehåller ett visst antal element, som kan vara ändligt eller oändligt. Mängden behöver inte heller innehålla något element alls, och då talar vi om den tomma mängden. En mängd betecknas vanligen med en stor bokstav, till exempel M, och elementen i mängden med en liten bokstav m.

Vad en mängd är

Mängd är ett av matematikens grundbegrepp, och många andra begrepp definieras med hjälp av det. Därför är det bra att redan från början klargöra vad en mängd är, så att du inte famlar i mörkret längre fram.

En mängd är alltså en samling av godtyckliga element. I matematiken arbetar vi oftast med talmängder, det vill säga mängder vars element är tal. Det vanliga sättet att skriva en mängd i matematiken ser ut så här:

$$M=\{1,2,3\}$$

Här har vi beskrivit en mängd med namnet ”M” som innehåller tre element: ettan, tvåan och trean. Mängder skrivs alltid inom måsvingar, och nästan alltid när du ser måsvingar handlar det om någon mängd.

Vad kan vi använda mängder till? Mängder talar ofta om vilka element vi får välja bland. I vardagen kan du till exempel säga något i stil med ”Elsa, ska vi leka en lek, okej? Tänk på ett tal från ett till fem.” Då har du gett Elsa ett intervall av tal att välja bland. I matematiken skulle du använda en mängd:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Sedan kan du säga ”Elsa, ska vi leka en lek, okej? Tänk på ett tal som finns i mängden L.” Leken skulle säkert bli roligare direkt. I matematiken skriver vi att ett element tillhör en mängd med tecknet ∈, och när det inte tillhör den använder vi ∉. Om vi vill säga att ettan tillhör mängden L men sjuan inte gör det, skriver vi: 1 ∈ L och 7 ∉ L.

En mängd kan förstås vara tom. Det skrivs antingen P = {} eller enklare P = ∅. Se upp: båda skrivsätten betyder ”tomma mängden”. Om du i stället skriver P = {∅} har du skrivit en mängd som innehåller den tomma mängden. Det är inte samma sak som den tomma mängden.

Ordning och dubbletter

Elementen i en mängd har ingen särskild ordning. En mängd är en oordnad samling element. Om vi har två mängder A = {1, 2, 3} och B = {3, 2, 1} säger vi att de är lika. Ordningen på elementen spelar helt enkelt ingen roll.

Dubbletter bryr vi oss inte heller om. Om en mängd innehåller flera likadana element (flera likadana tal) räknar vi alltid bara en enda förekomst av elementet. Om vi har de här två mängderna A = {1, 1, 2, 2, 2} och B = {2, 1} anser vi alltså att de är lika. Det gör ingenting att mängden A verkar innehålla ”fler” element, eftersom vissa av dem står två eller tre gånger. När vi räknar med mängder tar vi helt enkelt bort dubbletterna.

Storlek och likhet

Vi kan definiera begreppet mängdens storlek, som är antalet element i mängden. I exemplet ovan, A = {1, 1, 2, 2, 2} och B = {2, 1}, är storleken på mängden A två och storleken på mängden B också två, eftersom vi inte heller när vi räknar elementen bryr oss om dubbletter. Storleken på en mängd skrivs mellan lodräta streck: |A| = |B| = 2.

Som du säkert har förstått är två mängder lika om de har samma element. Några exempel:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

En viktig egenskap är att en mängd kan ha en annan mängd som element. Exempel: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Det är viktigt att inse att mängden C har tre element, inte sex. Mängden C innehåller tre element: ettan, tvåan och en mängd. Talen 3, 4, 5 och 6 finns i den inre mängden, inte i mängden C. Alltså gäller |C| = 3. Ett svårare exempel:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Hur många element har mängden D? Den har tre element, nämligen:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

En mängd kan vara ändlig eller oändlig. Alla mängder vi hittills har nämnt är ändliga. Oändlig är till exempel mängden av alla tal.

Delmängd

Låt oss ta två mängder A = {1, 2} och B = {1, 2, 3}. De här mängderna är olika, eftersom de inte innehåller samma element, och mängden B är större. Du har ändå säkert sett att mängden B innehåller precis samma element som mängden A, bara med elementet 3 extra. Då kan vi säga att A är en delmängd av B.

Om A är en delmängd av B måste alla element som finns i mängden A också finnas i mängden B. Att vara delmängd är en relation och skrivs med symbolen ⊆. Formell definition:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Vanligtvis antar man att mängderna A och B får vara lika, och då gäller ändå A ⊆ B. Om vi vill uttrycka den strikta varianten av delmängd använder vi en annan symbol: ⊂. Då gäller att om A ⊂ B måste mängden B vara större (om den är ändlig), alltså innehålla ett element som mängden A inte innehåller. En sådan mängd kallar vi ”äkta delmängd”. Om A ⊂ B är alltså A en äkta delmängd av B. Definition av äkta delmängd:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Definitionen är densamma som för en vanlig delmängd, men de båda mängderna får inte vara lika. Några exempel:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Egenskaper hos delmängder:

• A ⊆ A: en mängd är alltid en delmängd av sig själv.
• A ⊄ A: en mängd är aldrig en äkta delmängd av sig själv.
• ∅ ⊆ A: den tomma mängden är en delmängd av vilken mängd som helst.
• A ⊄ ∅: den tomma mängden har ingen äkta delmängd.

Med hjälp av delmängder kan vi skriva likhet mellan mängder:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Om de båda mängderna är lika är alltså var och en delmängd av den andra.

Relationen delmängd kallas också ”inklusion”.

Potensmängd

Potensmängden är mängden av alla delmängder till en given mängd. Den betecknas vanligen antingen P(M) eller 2^M.

Exempel: M = {1, 2, 3}. Vilka är alla delmängder? Säkert den tomma mängden och mängden M själv. Dessutom: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Alla de här mängderna bildar tillsammans potensmängden till mängden M. Vi skriver: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Eftersom den tomma mängden är en delmängd av varje mängd och M alltid är en delmängd av M, gäller alltid ∅ ∈ P(M) och M ∈ P(M).

Hur man skriver en mängd

Ett sätt har vi redan nämnt: att helt enkelt lista elementen. Då använder vi måsvingar. M = {1, 2, 3} eller N = {a, b, c, d} och så vidare. När vi skriver en oändlig mängd kan vi använda tre punkter, om det är tydligt hur följden av element fortsätter: M = {1, 2, 3, …}

Det huvudsakliga sättet att skriva en mängd är med mängdens karakteriserande egenskap. I allmänhet ser skrivsättet ut så här: {x ∈ X ∣ P(x)}, där X är den mängd vi väljer element ur och P(x) är något villkor som anger vilka element mängden har. Villkoret kan skrivas rent matematiskt eller med ord. I stället för ”|” används också kolon: ”:”.

Ett exempel är ”låt mängden M innehålla alla tal som anger en dag i en månad”. En månad har högst 31 dagar, så en sådan mängd har 31 element, från 1 till 31. Vi kan skriva den med tre punkter så här: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Samma mängd kan skrivas på ett annat sätt: {x ∈ ℤ ∣ x anger en dag i månaden}, där ℤ betecknar mängden av heltal.

Ett mer matematiskt exempel kan vara ”låt mängden P innehålla alla positiva tal som är delbara med fem”. Då ser mängden ut så här: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Låt oss skriva mängden T av positiva heltal som är mindre än tio: T = {x ∈ ℤ⁺ ∣ x<10}. Skrivsättet säger: mängden T består av element x som vi tar ur mängden av positiva heltal och som uppfyller villkoret att de är mindre än 10. Vi tittar alltså på de positiva heltalen och behåller bara dem som är mindre än tio: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Och det var allt.

Ett exempel till: Y = {x ∈ ℤ ∣ x ≠ 0}. Vi har definierat mängden Y, som innehåller element x som vi tar ur heltalen, och det enda villkoret x måste uppfylla är att det inte får vara noll. Mängden Y innehåller alltså alla heltal utom noll.

Ett exempel till: G = {x ∈ ℝ ∣ x · x = x}. Mängden G innehåller element x som vi tar ur de reella talen, och för alla element x måste gälla att om vi multiplicerar dem med sig själva får vi talet x igen. Vi kan till exempel pröva talet 5. Enligt definitionen ska den här likheten gälla: 5 · 5 = 5. Det stämmer uppenbarligen inte, så talet 5 är inte ett element i mängden G. Vi provar ettan: 1 · 1 = 1. För den gäller det tydligt, så ettan är ett element i mängden G. Det andra, och samtidigt sista, elementet är talet noll. För inget annat tal gäller det. Vi kan alltså skriva: G = {0, 1}.

Och ett sista exempel. Jag skriver något mer komplicerat så att du ser att den karakteriserande egenskapen också kan vara komplicerad:

$$X=\{x\in \mathbb{R}\mid (x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

I praktiken definieras en mängd oftast med en karakteriserande egenskap, och man kan säga att en ganska stor del av matematikens begrepp definieras med hjälp av mängder. Om vi tar ett intervall kan vi säga att intervallet ]a, b[ är den mängd I för vilken gäller:

$$I=\{x\in \mathbb{R}\mid (x>a)\wedge (x<b)\}$$

Det är alla element i mängden av reella tal som är större än a och mindre än b, vilket är precis vad ett intervall uttrycker.

Fler källor

• Wikipedia