Monty Hall-problemet

Monty Hall-problemet, ibland kallat tredörrarsproblemet, är ett sannolikhetsproblem som förvirrar många.

Uppgift

Vi har tre dörrar. Programledaren Monty Hall placerar en bil bakom en av dörrarna och en get bakom vardera av de andra. Din uppgift är att hitta och välja dörren med bilen bakom. Nu ber han dig välja en av de tre dörrarna, vi kallar dem A, B och C. Du väljer en dörr, säg B. Sedan kommer programledaren in i bilden: av de återstående dörrarna, alltså A, C, öppnar han en dörr med en get bakom — han avslöjar alltså en dörr som säkert inte leder till målet. Säg att han öppnar dörr A.

Poängen med hela problemet ligger i nästa steg — programledaren erbjuder dig att ändra ditt val. Du valde först dörr B, sedan sa programledaren att bilen inte finns bakom dörr A och erbjuder dig att byta till dörr C. Men du kan också behålla ditt ursprungliga val B.

Hur väljer du? Är det större chans att bilen finns bakom dörr B eller bakom dörr C? Eller spelar det ingen roll?

Lösning

Du har tre dörrar. En dörr är ute ur spelet, så egentligen har du bara två dörrar kvar. Bakom en av dessa två dörrar finns säkert bilen. Om de återstående två dörrarna vet du ingenting och du har inga ytterligare ledtrådar. Så sannolikheten är förstås 50 % för båda dörrarna.

Ungefär så tänker många människor, så oroa dig inte om du också tänkte så. Lösningen är dock förstås fel :-).

Rätt lösning

Det lönar sig att byta till den dörr som programledaren inte tog bort. För att förstå det kan vi skriva ut sannolikheterna från början. När du väljer dörr första gången är sannolikheten att bilen finns bakom just den 1/3. Vi har inga ytterligare ledtrådar, så sannolikheten är jämnt fördelad, 1/3 för varje dörr.

Om du väljer dörr B har du alltså chansen 1/3 att bilen finns bakom den. Samtidigt är sannolikheten 2/3 att bilen finns bakom dörr A eller C. Det är alltså mer sannolikt att bilen finns bakom en dörr som vi inte valde. Det här är viktigt.

I nästa steg kommer programledaren in i bilden och öppnar en av dörrarna som bilen inte finns bakom. Programledaren öppnar dörr A. Bakom dörr A finns alltså ingen bil. Vad händer med sannolikheten 2/3? Vi vet att sannolikheten att bilen finns bakom dörr A eller C är 2/3 och samtidigt vet vi att den inte finns bakom dörr A. Sannolikheten 2/3 flyttas därför över på dörr C. Chansen att bilen finns bakom dörr C är 2/3.

Vår chans för dörr B förblir däremot densamma, den har inte ändrats alls. Vi har alltså chansen 1/3 att bilen finns bakom dörr B, som vi valde, och chansen 2/3 att den finns bakom dörr C, som vi kan byta till. Det är därför förnuftigt att byta.

Fler dörrar

Exemplet blir kanske lättare att förstå om vi ökar antalet dörrar och ändrar uppgiften så här: vi har tio dörrar. I början väljer deltagaren en dörr och programledaren öppnar alla dörrar utom den vi valde och den som bilen finns bakom. Uppgiften är i praktiken densamma som i föregående exempel, där programledaren också öppnade alla dörrar han kunde, men det blev bara en dörr eftersom fler inte gick att öppna.

I början väljer du dörr 1. Chansen att bilen finns bakom den är 1/10. Sannolikheten att bilen finns bakom någon annan dörr är 9/10. Sedan tar programledaren bort 8 dörrar som bilen säkert inte finns bakom och du har återigen bara två dörrar kvar. Chansen att bilen finns bakom den dörr som programledaren lämnade kvar är 9/10, medan chansen att den finns bakom din valda dörr fortfarande är 1/10.

Fler källor

• Wikipedia
• LaTrine — samma uppgift med nötskal