Fakultet

Fakulteten av talet n är produkten av alla positiva heltal som är mindre än eller lika med n. Fakultet skrivs med utropstecken: n!. För noll gäller 0! = 1. Fakultet används framför allt i kombinatorik, där man med dess hjälp till exempel beräknar permutationer. Fakulteten av fem är till exempel 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definition av fakultet

Fakultet kan definieras på flera sätt. Det enklaste är nog det här:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{om n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{annars}\end{array}$$

Vi kan också definiera fakultet med en produkt:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Eller med hjälp av en integral:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Räkna med fakulteter

Med fakulteter räknar vi ofta i bråk. Då använder vi att n! = n · (n − 1)!. Det gäller enligt definitionen, och vi visar det med ett exempel. Vi vet att fakulteten av fyra, 4!, är produkten av de här positiva heltalen: 4 · 3 · 2 · 1. Produkten 3 · 2 · 1 är samtidigt lika med fakulteten av tre: 3 · 2 · 1 = 3!. Fakulteten av fyra kan vi alltså skriva som 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Tack vare det kan vi förkorta många olika fakulteter i bråk. Ett typiskt exempel – förenkla uttrycket:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Förenklingen gör vi med formeln som vi precis nämnde. I täljaren kan vi dela upp fakulteten som n · (n − 1)!, och den kan vi (med samma formel) dela upp ytterligare till n · (n − 1) · (n − 2)!. Nu kan vi förkorta bråket:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Ett exempel till:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Och här kommer det sista exemplet på fakultet:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$