Grunderna i statistik

Statistik är en vetenskap som försöker undersöka verkliga data och med hjälp av sannolikhetsteori försöker beskriva dem.

Ett eget avsnitt om statistik

Det här är en gammal och inaktuell artikel. Statistiken har numera ett eget avsnitt med inledningsartikeln Grundläggande begrepp i statistik.

Grundläggande begrepp

I statistik arbetar man med några grundläggande begrepp som vi beskriver här.

Först och främst gäller det statistiskt material, som är en ändlig mängd data som vi vill undersöka. Data kan vara allmänna, det kan i princip vara vad som helst. Om du vill undersöka medellönen i Sverige är det statistiska materialet mängden av alla människor i Sverige. Antalet element i det statistiska materialet kallas antalet observationer. Antalet observationer i det statistiska material vi definierade är alltså lika med antalet invånare i Sverige.

Vidare finns begreppet statistisk enhet, som är ett konkret element i det statistiska materialet. I vårt fall är den statistiska enheten alltså en konkret människa.

Slutligen har vi statistisk variabel, som är det vi vill mäta. I vårt exempel är den statistiska variabeln just lönen. En statistisk variabel kan vara antingen kvalitativ eller kvantitativ. En kvantitativ (kvantitet = mängd, antal) variabel är en variabel som kan uttryckas med tal (till exempel just lönen, längd, antal barn, …), en kvalitativ variabel kan däremot uttryckas med ord (färg, ja/nej, yrke, …).

Frekvenser

Frekvensen kan vara antingen relativ eller absolut och anger hur många värden av en given variabel som förekommer i det statistiska materialet — antingen absolut eller relativt det totala antalet element i materialet.

Det är viktigt att vi måste tillämpa den statistiska variabeln när vi räknar frekvens, för om vi ville beräkna den absoluta frekvensen för en statistisk enhet skulle vi nödvändigtvis hamna på antingen noll eller ett, eftersom det statistiska materialet är en mängd och en mängd som sådan inte tillåter flera lika element.

Den absoluta frekvensen för värdet z av en statistisk variabel anger alltså antalet förekomster av värdet z i det statistiska materialet S. Exempel: låt oss ta en klass med tio elever. Varje elev fick ett betyg i matematik, från A till E. Betygen finns i följande tabell:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \text{B}& \text{E}& \text{C}& \text{B}& \text{A}& \text{A}& \text{B}& \text{D}& \text{A}& \text{C}\end{array}$$

Anmärkning: det statistiska materialet för det här exemplet skulle vara de där tio klasskamraterna, något i stil med

$$S=\{\text{Oscar},\text{Elsa},\text{Hugo},\dots \}$$

I tabellen har vi för enkelhetens skull ett löpnummer för eleven i första raden, i första raden står alltså de statistiska enheterna, det vill säga elementen i det statistiska materialet. I andra raden har vi värdena på den statistiska variabeln, det vill säga värdena ”slutbetyg i matematik” för den eleven.

Den absoluta frekvensen för värdet (betyget) z = C skulle alltså vara lika med två, bara två elever fick betyget C (det är ”eleverna” 3 och 10). Den absoluta frekvensen för värdet z = A skulle vara tre (”eleverna” 5, 6 och 9).

Den relativa frekvensen anger hur stor andel av värdena på variabeln i det statistiska materialet som är lika med värdet z. Den relativa frekvensen för värdet z beräknar vi så här:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

där z_a är den absoluta frekvensen för värdet z och |S| är antalet observationer i det statistiska materialet, det vill säga antalet element. Den relativa frekvensen för betyget C skulle alltså vara:

$$r_{\text{C}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Antalet observationer i vårt material är tio, eftersom vi har tio elever i klassen. Skrivsättet i procent får vi genom att multiplicera med hundra, alltså skulle vi få 20 %. Den relativa frekvensen för A skulle vara

$$r_{\text{A}}=\frac{3}{10}.$$

Aritmetiskt medelvärde

Det aritmetiska medelvärdet, eller ofta bara medelvärdet, är medelvärdet av alla värden i det statistiska materialet. Med ordet värde menas här värdet efter att den statistiska variabeln har tillämpats. Medelvärdet beräknar vi genom att addera alla värden och dela med antalet värden i materialet. Alltså ungefär så här:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Jag har också tagit med ett uttryck med hjälp av summatecknet, ifall det känns mer läsbart för dig. Men det föregående uttrycket med bråk räcker. Värdena x representerar alla värden i vårt material.

Exempel: vi tar data från den föregående tabellen och beräknar medelbetyget per elev. Betygen A, B, C, D och E motsvarar betygspoängen 20, 17,5, 15, 12,5 och 10.

$$p_a=\frac{17,5+10+15+17,5+20+20+17,5+12,5+20+15}{10}=\frac{165}{10}=16,5$$

I vår klass är medelbetygspoängen 16,5. Som du ser kan det aritmetiska medelvärdet ge oss ett värde som egentligen inte alls är giltigt — du kan inte få betygspoängen 16,5.

Det aritmetiska medelvärdet fungerar också dåligt när en del av data har helt andra värden än resten. Om vi har ett material med värdena 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75 får vi alltså medelvärdet

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Vi ser att det slutliga värdet ligger långt från alla värden i materialet. Det är flera gånger större än de sex första talen och flera gånger mindre än det sista värdet. Det är ett problem som till exempel medianen kan lösa, se längre fram. Nu vet du åtminstone varför två tredjedelar av människorna i Tjeckien inte når upp till medellönen — det finns en liten grupp människor som har mycket höga löner, som höjer det aritmetiska medelvärdet.

Geometriskt medelvärde

Det geometriska medelvärdet beräknas på liknande sätt som det aritmetiska medelvärdet, bara att man i stället för addition använder multiplikation och i stället för division rot. Det geometriska medelvärdet beräknar vi alltså så här:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Det geometriska medelvärdet kan användas som ett mått på tillväxt. Antag till exempel att priset på någon produkt steg med 10 % under ett år, med 15 % nästa år och med 5 % året därpå. Det ursprungliga priset c var då efter de tre åren

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Det geometriska medelvärdet av de här förändringsfaktorerna skulle vara:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Vad betyder det? Att om priset varje år multiplicerades med just talet 1,0992419 (det vill säga steg med ungefär 9,92 %) skulle det slutliga priset bli detsamma:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Typvärde och median

Typvärdet för en variabel är det värde som har den högsta frekvensen, det betecknas Mod(x). Om vi återvänder till exemplet med betygen är typvärdena A och B, eftersom de förekommer oftast — båda har den absoluta frekvensen 3.

Medianen är det mittersta värdet, vi betecknar den Med(x). Om vi kan ordna värdena i en icke-avtagande talföljd

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

så är medianen det värde som ligger i mitten av talföljden. Det mittersta värdet skiljer sig sedan beroende på om talföljden har ett udda eller ett jämnt antal element. Om antalet är udda är medianen elementet på plats

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Om talföljden har ett jämnt antal element har den inget element som ligger helt i mitten (exempel: talföljden 1, 2, 3, 4 har helt enkelt inget mittelement). Därför tar vi medelvärdet av de två mittersta värdena (medelvärdet av värdena 2 och 3). Formeln för jämna n blir alltså:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Låt oss återvända till exemplet som illustrerade ett dåligt använt aritmetiskt medelvärde. Vi hade ett material med värdena s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Typvärdet skulle vara lika med två, det är det enda talet som upprepas. För att beräkna medianen ordnar vi talen i en talföljd:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Talföljden har sju element, det mittersta elementet är alltså a₄ och det är lika med tre.