Diskriminanten

Diskriminanten är ett uttryck som hjälper oss att beräkna lösningarna till en allmän andragradsekvation, eller att avgöra om ekvationen har lösningar och hur många.

Formel och grundläggande samband

Först repeterar vi andragradsekvationens allmänna form:

$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

där a, b och c är reella tal. Diskriminanten, som vi betecknar D (det är uttrycket under rottecknet i lösningsformeln), beräknar vi så här:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Exempel: vi har andragradsekvationen 3x² + 5x − 7 = 0. För den gäller a = 3, b = 5, c = −7. Diskriminanten beräknar vi så här:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

Resultatet är alltså 109. Vad säger det här talet oss? Om diskriminanten är…

• positiv har ekvationen två olika reella rötter,
• noll har ekvationen två lika reella rötter (en dubbelrot),
• negativ saknar ekvationen reella lösningar. Däremot har den lösningar över de komplexa talen.

Så beräknar du rötterna till en andragradsekvation

Med hjälp av diskriminanten kan vi beräkna rötterna direkt. Formeln för rötterna lyder:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},$$

där D är diskriminanten. Hela formeln med diskriminanten utskriven ser ut så här:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Vi provar formeln och beräknar rötterna till andragradsekvationen x² + 7x + 12 = 0. Först beräknar vi diskriminanten:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Diskriminanten blev positiv, så ekvationen har två olika reella rötter. Vi beräknar den första roten. Först adderar vi kvadratroten ur diskriminanten, i nästa steg subtraherar vi den:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

Den första roten blev −3. Den andra roten beräknar vi genom att subtrahera kvadratroten:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

Nu har vi båda rötterna till ekvationen, x₁ = −3 och x₂ = −4.

För att klara det här arbetssättet måste du kunna bestämma värdena på a, b och c rätt. Hur du gör det beskrevs i den första artikeln om andragradsekvationer.

Och vad betyder lösningen grafiskt, hur syns den i grafen? Om vi ritar grafen till funktionen i ekvationens vänsterled ser vi att grafen till den här andragradsfunktionen skär x-axeln i två punkter — i x₁ = −3 och x₂ = −4.

Diskriminanten är noll

Om diskriminanten blir noll betyder det att ekvationen har en lösning, men bara en; eller rättare sagt två, men de är lika. Exempel: lös ekvationen x² − 10x + 25 = 0. Vi beräknar diskriminanten:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

Roten beräknar vi på samma sätt som i förra avsnittet, med formeln. Men eftersom diskriminanten är noll försvinner plus/minus kvadratroten ur D ur formeln, för vi skulle addera/subtrahera noll.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Vi fick en dubbelrot, x = 5. Vad betyder det grafiskt? Att grafen till funktionen tangerar x-axeln i exakt en punkt, i sin minimipunkt.

Negativ diskriminant

Om diskriminanten blir negativ saknar andragradsekvationen reella lösningar. Vi kan lösa ekvationen över de komplexa talen, men det kommer först i nästa artikel. Som exempel provar vi att lösa den här andragradsekvationen: x² + x + 1 = 0. Diskriminanten:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

Andragradsekvationen saknar alltså reella lösningar. Du kan själv kontrollera det — polynomet x² + x + 1 är positivt för alla reella tal. Om du till exempel sätter in 1 i stället för x får du: 1 + 1 + 1 = 3. Om x = −1 har vi 1 − 1 + 1 = 1. Om x = 0 har vi 0 + 0 + 1 = 1. Och så vidare för andra tal. Du kan också titta på grafen till funktionen y = x² + x + 1, den skär aldrig x-axeln.

Vietas formler

Vi vet redan hur man beräknar lösningarna till en andragradsekvation. Men vilket samband finns mellan dem? Vi provar att addera båda lösningarna x₁ och x₂:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Om vi adderar rötterna till andragradsekvationen ax² + bx + c = 0 får vi kvoten −b/a. Vad händer om vi multiplicerar rötterna?

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot \sqrt{D}-b\cdot \sqrt{D}-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

Om vi multiplicerar rötterna får vi alltså talet c/a. Det här är Vietas formler (rotsatsen). Här är de samlade en gång till:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

Lägg märke till att det alltid står a i bråkets nämnare. Ett specialfall är andragradsekvationen där a = 1. Då kan vi skriva Vietas formler så här:

$$\begin{array}{r}\text{om }a=1:\\ x_1+x_2& =& -b\\ x_1\cdot x_2& =& c\end{array}$$

Det kan vi utnyttja när vi söker lösningar till andragradsekvationer. I stället för att göra den besvärliga beräkningen av diskriminanten kan vi se om vi kan hitta sådana tal x₁ och x₂ att sambanden ovan gäller. Exempel: hitta lösningarna till ekvationen x² + 8x + 15 = 0. Det gäller att a = 1, så vi kan använda den enklare formen av Vietas formler. Vi söker tal x₁ och x₂ så att följande gäller:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

Om vi begränsar oss till heltal har vi totalt fyra möjligheter att få produkten 15:

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

Nu ska summan av talen i vänsterledet bli −8. Bara ett enda par ger den summan, nämligen −3 och −5. De här talen är alltså lösningar till andragradsekvationen. Vi kan prova att sätta in dem i ekvationen, det ska bli noll:

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

Det stämmer. Om du känner till rötterna kan du också skriva ekvationen i en mer lättläst form. Om x₁ och x₂ är rötter till ekvationen ax² + bx + c = 0 och a = 1, kan du skriva om ekvationen till formen

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Den förra ekvationen kan vi alltså skriva om till:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$