Sannolikhet

Sannolikheten för en slumpmässig händelse säger oss hur stor chans vi har att händelsen inträffar. Ett typiskt exempel är ett kast med en vanlig tärning. Vi kan fråga oss: ”hur stor är sannolikheten att tärningen visar en femma?” Sannolikheten anger vi antingen som ett tal i intervallet [0, 1] eller i procent, alltså från 0 % till 100 %.

Relaterade definitioner

Om en upprepad handling som beror på slumpen säger vi att den är ett slumpförsök. Ett tärningskast eller en lottdragning är till exempel ett slumpförsök. Dessutom behöver vi mängden av alla möjliga utfall av slumpförsöket — det är alla möjligheter som kan inträffa i det aktuella slumpförsöket. På en tärning kan till exempel talen från ett till sex komma upp, så mängden av alla möjliga utfall, utfallsrummet, som vi betecknar Ω (omega), skulle för en tärning se ut så här: Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vid en lottdragning skulle det vara alla kombinationer som kan dras.

Varje delmängd A ⊆ Ω kallar vi en (slumpmässig) händelse. Händelsen ”tärningen visar ett jämnt tal” skulle vi till exempel skriva som A = {2, 4, 6}. Händelsen ”tärningen visar ett tal som är större än fem” skulle vi skriva som A = {6} och så vidare. Om vi kastar tärningen (= genomför försöket) och den visar talet x, säger vi att händelsen har inträffat om x ∈ A, och annars att den inte har inträffat. Om vi håller oss till händelsen ”tärningen visar ett jämnt tal” och får x = 2, så är x ∈ A, alltså 2 ∈ {2, 4, 6}, och händelsen inträffade.

Det finns två speciella slags händelser: den säkra och den omöjliga. En händelse är säker om den inträffar i varje försök, vilket betyder att A = Ω. För tärningar skulle det vara händelsen ”det blir ett tal som är mindre än 7”. Det kommer helt säkert upp. Motsatsen är den omöjliga händelsen, som skulle se ut så här: A = ∅, och med ord till exempel ”tärningen visar en blomkruka”. Visst, en blomkruka kan ramla ner från bordet medan vi kastar tärningen, men tärningen visar helt säkert ingen blomkruka, eftersom det bara finns talen 1 till 6 på den.

Sannolikheten för en händelse

Sannolikheten för en händelse säger oss hur mycket vi kan vänta oss att händelsen inträffar. Vi anar nog alla att ett jämnt tal kommer upp oftare än just en femma. Sannolikheten översätter den känslan till exakta tal. Först går vi igenom några förutsättningar som vi kommer att behöva.

Anta att för ett slumpförsök gäller:

• Antalet möjliga utfall är ändligt (alltså är Ω en ändlig mängd).
• Två utfall kan inte inträffa samtidigt (vi kan inte slå en trea och en sexa med samma tärning på samma gång).
• Alla utfall är lika sannolika (vi har alltså lika stor chans att slå en fyra som att slå en sexa eller en etta).

De två första villkoren är ganska naturliga, det sista är lite begränsande, men tills vidare klarar vi oss med det. Då kan vi säga att sannolikheten för händelsen A, som vi betecknar P(A), är lika med

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

Med andra ord: antalet gynnsamma utfall delat med antalet möjliga utfall. (De lodräta strecken i formeln ovan betyder antalet element i mängden.) Sannolikheten att slå ett jämnt tal med en tärning skulle alltså vara lika med:

$$P(\text{Jämnt})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Ofta anger vi sannolikheten i form av procent — vi tar den sannolikhet vi räknat ut, multiplicerar med hundra och lägger till procenttecknet: 0,5 · 100 % = 50 %. En sannolikhet på femtio procent säger egentligen att vi har lika stor chans att få ett jämnt tal som att inte få det. Det är rimligt, eftersom tärningen har tre jämna och tre udda tal.

Den säkra händelsen har sannolikheten 1, den omöjliga 0. Varför? Vi sa att för en säker händelse J gäller J = Ω och för en omöjlig händelse N gäller N = ∅. Om vi sätter in de här händelserna i formeln får vi:

$$P(J)=\frac{|\mathrm{\Omega }|}{|\mathrm{\Omega }|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{0}{|\mathrm{\Omega }|}=0.$$

Lösta exempel

1. Hur stor är sannolikheten att tärningen visar en femma? Det är enkelt, mängden av alla gynnsamma utfall är bara A = {5}, och mängden av alla utfall är fortfarande Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vi sätter in i formeln:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Hur stor är sannolikheten att tärningen visar ett tal som är delbart med tre? Vi måste ta reda på vilka tal på tärningen som är delbara med tre. Det är bara talen 3 och 6, så mängden av gynnsamma utfall är B = {3, 6}. Sedan som vanligt:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Nu försöker vi kasta två tärningar samtidigt. Hur stor är sannolikheten att båda tärningarna visar en sexa? Först måste vi räkna ut Ω, alltså mängden av alla utfall. Vi måste räkna upp alla möjligheter som kan inträffa. Om den första tärningen visar talet 1 kan den andra visa talen 1 till 6. Då har vi hittat sex möjligheter. Om den första tärningen visar talet 2 kan den andra tärningen återigen visa talen 1 till 6; då har vi hittat ytterligare sex möjligheter. Och så vidare för alla tal som den första tärningen kan visa. Alla möjligheter ser då ut så här:

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Vi har sammanlagt sex rader och i varje rad sex möjligheter. Sammanlagt får vi 6 · 6 = 36 möjligheter som tärningarna kan visa. Hur många av dem finns samtidigt i mängden av gynnsamma utfall? Bara en möjlighet, nämligen (6, 6), eftersom vi vill att det ska bli två sexor. Vi får då sannolikheten:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Hur stor är sannolikheten att båda tärningarna visar samma tal när vi kastar två tärningar? Antalet möjliga utfall är fortfarande 36, se föregående exempel. Men hur många gynnsamma utfall finns det? Bara i sex fall visar båda tärningarna samma tal: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Vi sätter in i formeln:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Hur stor är sannolikheten att, när vi kastar två tärningar, en vit och en svart, den vita tärningen visar 3 och den svarta 5? Storleken på Ω är fortfarande 36. Hur ser mängden av gynnsamma utfall E ut? Den innehåller bara möjligheten (3, 5), så sannolikheten är lika med

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Hur stor är sannolikheten att, när vi kastar två tärningar, en vit och en svart, tärningarna visar talen 3 och 5? Det här exemplet liknar det föregående, men vi kräver inte att talet 3 ska komma på den vita tärningen och talet 5 på den svarta. På den ena tärningen ska det helt enkelt bli 3 och på den andra 5. Då får vi fler möjligheter: förutom (3, 5) har vi också möjligheten (5, 3). Sannolikheten för den här händelsen F är alltså lika med:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Hur stor är sannolikheten att det blir minst en sexa när vi kastar två tärningar? Vi tar det steg för steg: om den första tärningen visar en sexa kan den andra visa talen 1 till 5. Det är fem möjligheter. Om den andra tärningen visar en sexa kan den första visa talen 1 till 5. Det är ytterligare fem möjligheter. Och slutligen kan båda tärningarna visa en sexa — det är ytterligare en möjlighet. Sammanlagt har vi alltså 5 + 5 + 1 = 11 möjligheter. Mängden av gynnsamma utfall G ser då ut så här: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Vi får sannolikheten:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. I en klass finns 30 elever. Hur stor är sannolikheten att eleven Oscar blir utfrågad i historia, om läraren frågar ut två elever per lektion och ingen har blivit utfrågad ännu? För att räkna ut sannolikheten behöver vi räkna ut hur många olika par av elever som finns och hur många olika par av elever där Oscar är en av de två. Eftersom ordningen i vilken läraren frågar ut eleverna inte spelar någon roll, använder vi kombinationer.

   Nu blir det enkelt. Vi har sammanlagt 30 elever och frågar oss hur många olika par vi kan bilda av dem. Det leder oss till binomialkoefficienten

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Och i hur många par ingår Oscar? Om en av de två är Oscar återstår sammanlagt 29 elever som Oscar kan bilda par med (han kan inte bilda par med sig själv, därför 30 − 1 = 29). Nu känner vi det totala antalet möjligheter och antalet gynnsamma möjligheter, så vi sätter in i formeln:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Anmärkning: antalet par kan vi också räkna ut utan kombinationer. Hur skulle vi kunna bilda alla par om vi har en klass på 30 elever? Genom att alltid ta en elev och para ihop honom eller henne med alla andra, en i taget. Det betyder att vi till exempel tar William och parar ihop honom med alla andra elever, alltså bildar vi 29 par. Så gör vi med varje elev, alltså med alla 30 eleverna. Sammanlagt får vi 30 · 29 = 870 par. Men varje par har vi två gånger: en gång har vi paret (William, Elsa) och en gång (Elsa, William) (beroende på om det var William som resten av klassen parades ihop med eller han som parades ihop med Elsa). Det här resultatet delar vi därför med två, och då har vi det slutliga resultatet: 870 / 2 = 435.

9. Hur stor är sannolikheten att vi ur ett skoställ med tolv par skor drar upp exakt tre vänsterskor? Det är ett praktiskt exempel från vardagen som du säkert någon gång har behövt veta. Vi börjar med att räkna ut hur många olika kombinationer av tre skor vi överhuvudtaget kan dra upp ur skostället. Då behöver vi kombinationer, eftersom ordningen i vilken vi drar upp skorna inte spelar någon roll. Vi har sammanlagt 24 skor och vill dra upp 3. Vi får binomialkoefficienten:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Därmed har vi räknat ut att det finns sammanlagt 2024 olika kombinationer av tre skor som vi kan dra upp ur skostället. Nu måste vi räkna ut vilka kombinationer som är gynnsamma, alltså vilka kombinationer av tre skor som bara innehåller vänsterskor. Vi vet att det finns sammanlagt 12 vänsterskor i skostället. Vi räknar alltså bara ut hur många kombinationer vi kan bilda av dessa 12 skor. Det leder återigen till en binomialkoefficient:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Det finns alltså 220 kombinationer som bara innehåller vänsterskor. Det är allt vi behöver veta, nu sätter vi bara in i formeln:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Vi har alltså ungefär tio procents chans att dra upp tre skor som alla är vänsterskor.