Binomialsatsen

Binomialsatsen är en generalisering av de klassiska formlerna av typen (a + b)² med hjälp av kombinatoriska metoder.

Motivering

Du känner säkert till formlerna för att beräkna (a + b)² eller (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

En naturlig fråga är om de här formlerna går att generalisera för ett godtyckligt positivt heltal n, det vill säga om det går att beräkna (a + b)ⁿ.

Härledning

Det går förstås, och det är just det binomialsatsen används till. Vi försöker se hur utvecklingen fortsätter för n = 4 och n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Nu bör du kunna se ett visst mönster. Om vi har uttrycket (a + b)ⁿ börjar vi alltid på högra sidan med termen aⁿ. Den andra termen innehåller också variabeln a, men exponenten är en lägre. Till exempel: i utvecklingen av (a + b)⁴ har vi på högra sidan a⁴ i den första termen och a³ i den andra. Varje följande term innehåller variabeln a med en exponent som är en lägre än i föregående term. Variabeln b växer däremot. I början har vi ingen variabel b, eller rättare sagt, vi har den, men med exponenten noll: b⁰ = 1. I den andra termen har b exponenten ett, sedan två och så vidare.

Samtidigt gäller den enkla regeln att summan av exponenterna alltid måste vara lika med n. Om vi tar den sista utvecklingen (a + b)⁵ är till exempel den tredje termen 10a³ · b², och summan av exponenterna för variablerna a och b är just 5.

Det sista är vilka koefficienter (talen framför variablerna) varje term får. Du lägger säkert märke till att koefficienterna är symmetriska: för (a + b)⁴ har vi koefficienterna 1, 4, 6, 4, 1, för (a + b)⁵ har vi: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Jag påminner om att a⁴ = 1 · a⁴, därför skriver jag ut ettan, även om jag inte anger den uttryckligen i formlerna. Nästa samband visar vi i Pascals triangel.

Pascals triangel

Pascals triangel är ett smidigt hjälpmedel när man beräknar utvecklingen enligt binomialsatsen. Pascals triangel består av tal, och det gäller att talet som står under två andra tal är lika med deras summa. Det låter krångligt, men av själva triangeln blir det klart:

Titta till exempel på talet fyra. Ovanför det talet står talen 1 och 3. Och summan 1+3 blir just 4. På samma sätt för de andra talen.

Och hur använder vi Pascals triangel? När du tittar på talen på de olika raderna upptäcker du att de påminner mycket om koefficienterna i den färdiga binomialutvecklingen. Till exempel för (a + b)² har vi koefficienterna 1, 2, 1, vilket är precis rad 2. För (a + b)⁴ har vi koefficienterna 1, 4, 6, 4, 1, vilket är precis rad 4. Om vi behöver beräkna (a + b)ⁿ räcker det att titta på rad n i Pascals triangel.

Binomialsatsens definition

Formellt lyder binomialsatsen så här:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

Summan beräknar vi från noll till n, inklusive. Antalet termer i resultatet är alltså n + 1. Det som står inom parentesen är en binomialkoefficient, som kommer från kombinatoriken och anger antalet olika kombinationer som ger en viss term i binomialutvecklingen. Resten är bara variabler med lämpliga exponenter. Lägg märke till att summan av exponenterna verkligen är lika med n: n − k + k = n.

Exempel

Ett enkelt exempel: beräkna (a + 2b)⁴ med hjälp av binomialsatsen. Först tittar vi i Pascals triangel på rad 4. Den säger oss att koefficienterna får formen: 1, 4, 6, 4, 1. Nu återstår bara att fylla i exponenterna steg för steg. I den första termen står bara a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

I den andra termen har vi exponenterna fördelade på paret 3, 1, alltså får vi a³(2b)¹. Att upphöja till ett gör ingenting med uttrycket, så vi kan skriva a³2b. Koefficienten för den andra termen är 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Den tredje termen får exponenterna 2, 2. Här gäller det att se upp, vi upphöjer hela 2b, alltså så här: (2b)², vilket är lika med: (2b)² = 4b². Vi skriver in det i utvecklingen med koefficienten 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Den fjärde termen får formen a(2b)³. Efter upphöjningen får vi a8b³. Vi skriver in den med koefficienten 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Och den sista termen är bara (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Nu återstår bara en liten justering. I termen 4a³2b kan vi flytta tvåan till början av termen och multiplicera 2 · 4 = 8. Då får vi 8a³b. Om vi gör så med resten får vi resultatet:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Lägg märke till att koefficienterna nu inte längre stämmer med talen i Pascals triangel.