Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation med en obekant som är upphöjd till 2. Om den obekanta är upphöjd till ett högre tal än 2 är det inte längre en andragradsekvation.

Beskrivning av andragradsekvationen

Den allmänna formen av en andragradsekvation ser ut så här:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Talen a, b och c är reella tal och a är skilt från noll. Fler benämningar:

• ax² kallas den kvadratiska termen,
• bx kallas den linjära termen,
• c kallas konstanttermen.

Varje andragradsekvation kan skrivas om till allmän form med hjälp av ekvivalenta omformningar eller andra omskrivningar. Ett exempel på en andragradsekvation är

$$3x^2-6x+8=0.$$

En svårare fråga är om även den här ekvationen är en andragradsekvation:

$$(x+1)\cdot (x+2)=7.$$

Här syns inget x² och högerledet är inte noll. Högerledet fixar vi enkelt, vi subtraherar 7 och får

$$(x+1)\cdot (x+2)-7=0.$$

Fortfarande syns inget x². Vi multiplicerar in i parenteserna och får:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Nu finns x² där. Efter att vi har förenklat får vi till sist andragradsekvationens allmänna form:

$$x^2+3x-5=0.$$

Hur är det med nästa exempel, är det en andragradsekvation? Går det att skriva om till allmän form?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Svaret är att det inte går. Om vi multiplicerar hela ekvationen med variabeln x för att bli av med variabeln i bråkets nämnare får vi:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Nu finns det x³ i ekvationen, vilket inte kan förekomma i en andragradsekvation.

Det finns särskilda typer av andragradsekvationer, beroende på vilka värden koefficienterna a, b och c har.

Värden på koefficienterna

Det är helt avgörande för de följande avsnitten att du kan bestämma koefficienterna a, b och c. Vi börjar med ett enkelt exempel. Bestäm koefficienterna i ekvationen 3x² + 4x + 7 = 0. Här är det enkelt: a = 3, b = 4 och c = 7.

Hur är det med ekvationen 3x² − x + 2 = 0? Värdena på a och c är klara, a = 3 och c = 2, men vad är b? Det vore fel att skriva b = 1. Tänk dig att det står en etta framför x, så här: 3x² − 1x + 2 = 0. Nu syns det kanske tydligare att b = −1.

Ett till intressant exempel: x² − 3 = 0. Här kan det igen bli problem med koefficienten b, de andra är tydliga: a = 1 och c = −3. Vilket värde har koefficienten b? Den linjära termen finns inte alls i ekvationen, det är samma sak som om vi hade skrivit ekvationen som x² + 0x − 3 = 0. Alltså gäller b = 0.

Ett svårare exempel:

$$5x^2+3x+\pi \cdot x=0$$

I den här ekvationen finns två fällor. Det finns ingen konstantterm, så c = 0. Den kvadratiska termen är tydlig, alltså a = 5. Men vad är nu b? Vi kan skriva om ekvationen lite och bryta ut variabeln x ur två termer så här:

$$5x^2+(3+\pi )x=0$$

Koefficienten b är återigen det som står ”framför” variabeln x, så hela parentesen är lika med koefficienten b = (3 + π). En liknande ekvation:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

De två första koefficienterna är tydliga: a = −1 och b = 4. Vilken är konstanttermen? Det är de återstående uttrycken där det inte finns något x. Alltså gäller $c=1-\sqrt{2}$. Var inte rädd för roten, den biter inte, det är ett vanligt tal.

Och vilka värden har koefficienterna i den här ekvationen? (x + 1)(x + 2) = −2x. Först måste vi skriva om ekvationen till allmän form. Vi multiplicerar in i parenteserna och får

$$x^2+3x+2=-2x$$

och till sist adderar vi 2x på båda sidor för att få noll i högerledet:

$$x^2+5x+2=0.$$

Nu är värdena tydliga: a = 1, b = 5, c = 2.

Ren andragradsekvation

Om b = 0 är det en ren andragradsekvation, som löses på liknande sätt som en linjär ekvation. Ekvationen har alltså den allmänna formen:

$$a{x}^2+c=0$$

Eftersom b = 0 försvinner hela den linjära termen bx ur ekvationen, för 0x = 0. Vi löser ekvationen genom att först subtrahera konstanttermen. Vi subtraherar alltså c på båda sidor. Då får vi:

$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+c& =& 0/-c\\ a{x}^2& =& -c\end{array}$$

Sedan dividerar vi ekvationen med a. Vi får:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Till sist drar vi roten ur hela ekvationen. Bråket i högerledet får då inte vara negativt, eftersom man inte kan dra roten ur ett negativt tal. Vi får lösningen:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Lägg märke till att vi får två lösningar, en positiv och en negativ. Det syns bättre i ett exempel. Vi löser ekvationen

$$2x^2-8=0.$$

Enligt arbetsgången subtraherar vi först termen c. Observera att c är negativ här, så vi subtraherar ett negativt tal, alltså adderar vi ett positivt. Vi adderar +8 på båda sidor (målet är att få över åttan till högerledet). Vi får:

$$2x^2=8$$

Enligt arbetsgången dividerar vi sedan ekvationen med a, som är 2. Efter divisionen får vi:

$$x^2=4$$

Nu drar vi roten ur.

$$x_1=2,x_2=-2$$

Varför finns också −2 med? Därför att −2 gånger −2 är 4. Vi kan också titta på den grafiska lösningen: vi ser att grafen till funktionen 2x² − 8 skär x-axeln precis i punkterna x₁ = −2 och x₂ = 2.

Lös ekvationen

$$80x^2-5=0.$$

Vi adderar 5 på båda sidor:

$$80x^2=5$$

Vi dividerar med 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Vi förkortar bråket:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Vi drar roten ur:

$$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$$

Andragradsekvation utan konstantterm

Ett annat specialfall av andragradsekvationen uppstår när konstanttermen c är lika med noll. Ekvationen har då den allmänna formen:

$$a{x}^2+bx=0$$

Den här typen av ekvation löser vi genom att bryta ut den obekanta:

$$x(ax+b)=0.$$

Här syns lösningen ganska tydligt. Återigen får ekvationen två rötter, men den ena är alltid lika med noll. Hela vänsterledet är nämligen en produkt av två uttryck: x och parentesen (ax + b). När är produkten lika med noll? Om minst ett av uttrycken är lika med noll. Vänsterledet är alltså noll i två fall:

$$x=0\text{eller}ax+b=0.$$

Den första lösningen har vi redan, det är noll. Den andra får vi genom att lösa den linjära ekvationen ax + b = 0. Från artikeln om linjära ekvationer vet vi att den här ekvationen har exakt en lösning, som är lika med:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Nu kan vi alltså skriva lösningen till hela andragradsekvationen ax² + bx = 0:

$$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}.$$

Exempel:

$$6x^2+3x=0$$

Vi bryter ut x:

$$x(6x+3)=0$$

Den första lösningen är x = 0. Den andra hittar vi genom att lösa den linjära ekvationen 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Vi skriver lösningen:

$$x_1=0,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Återigen kan vi titta på funktionens graf, som skär x-axeln precis i de här punkterna:

Andra sätt att lösa

Det här var de grundläggande teknikerna för särskilda typer av andragradsekvationer. Den allmänna andragradsekvationen löser man med hjälp av diskriminanten. Bland andra typer av ekvationer finns också andragradsekvationen med parameter.

Kalkylator

Fyll i koefficienterna a, b och c i den allmänna ekvationen ax² + bx + c = 0, så beräknar kalkylatorn diskriminanten D, alltså uttrycket b² − 4ac under rottecknet, och rötterna. Du hittar den också separat som kalkylator för andragradsekvationer.