Sayılabilir Kümeler

Sayılabilirlik, kümelerin büyüklüğünün bir tür karşılığıdır. Sonsuz kümelerde eleman sayısıyla hesap yapamayız, çünkü eleman sayısı beklenmedik bir şekilde … sonsuzdur. Kümenin büyüklüğüne kardinalite de deriz.

Sonsuz Bir Kümenin Büyüklüğü

Sonlu bir kümenin büyüklüğünü bulmak kolaydır: elemanları sayarız. Örneğin M = {a, b, c, d, e} kümesinin büyüklüğü 5’tir ve bunu s(M) = 5 diye yazarız.

Sonsuz kümelerde durum biraz daha karışıktır. Sonsuz kümelerin büyüklüklerini nasıl karşılaştırabiliriz? Bu mümkün mü, yoksa bütün sonsuz kümeler “aynı büyüklükte” midir?

Örnek olarak pozitif tam sayılar kümesini ve pozitif çift sayılar kümesini alalım. Elimizde ℤ⁺ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} ve S = {2, 4, 6, …} kümeleri var. Pozitif tam sayılar kümesinin çift sayılar kümesinden büyük olduğunu söylemek istersin; çünkü pozitif tam sayılar bütün çift sayıları içerir, üstüne bir de fazladan elemanlar, yani tek sayılar içerir.

O hâlde S ⊊ ℤ⁺ yazabiliriz: S kümesi, ℤ⁺ kümesinin öz alt kümesidir. Ayrıca S ⊊ ℤ⁺ ise ℤ⁺ kümesinin daha büyük olduğunu da söyleyebiliriz; sonuçta S kümesinden daha fazla eleman içeriyor.

Kümeleri alt küme bağıntısıyla ölçememizin bir nedeni, kümelerden hiçbiri ötekinin alt kümesi olmasa bile büyüklüklerinin farklı olabilmesidir. Bunu sonlu kümelerde de gösterebiliriz: A = {1, 3, 4, 9} ve B = {b, u, r, z, m}. Burada s(A) = 4 ve s(B) = 5 olur. B kümesi A kümesinden büyüktür, ama A ⊂ B değildir. Sonsuz kümelerde bunu tek ve çift sayılarda görebiliriz. Kümelerden hiçbiri ötekinin alt kümesi değildir.

Yani alt küme bağıntısı, bir kümenin ötekinden büyük olup olmadığına karar vermek için iyi bir aday değildir.

Bire Bir ve Örten Fonksiyon

Başka bir yaklaşım deneyelim. Elimizde A ve B adlı iki küme olsun. Aralarında bire bir ve örten bir fonksiyon varsa bu kümelerin aynı büyüklükte olduğunu söyleyebiliriz. Bu ne demek? A kümesinden bir eleman, B kümesinden bir eleman alıp (a, b) ikilisini oluştururuz. Bu elemanları kümelerden çıkarırız ve devam ederiz. İki kümeyi de “boşaltabilirsek” bire bir ve örten bir fonksiyon bulmuşuz demektir.

Sonlu kümelerde bir örnek: A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3}. İlk ikili (a, 1), sonraki (b, 2), en sonda da (c, 3) olabilir. İki kümenin de bütün elemanlarını tükettik, yani bire bir ve örten bir fonksiyon bulduk. Önemli nokta şu: bu tek fonksiyon değildir. Şu da geçerli bir çözümdür: (a, 3), (b, 1), (c, 2).

Sonsuz kümelerde iş biraz daha ilginçleşir. Tek ve çift pozitif tam sayıları deneyelim. Sezgisel olarak sayılarının aynı olması gerektiğini hissederiz. Deneyelim. İlk tek sayıyı alıp ilk çift sayıyla eşleyelim: (1, 2). Sonra ikinci tek sayıyı ikinci çift sayıyla: (3, 4). Böyle devam ederiz. Şu ikilileri elde ederiz: (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), … Her l tek sayısı l + 1 çift sayısıyla eşlenir, her s çift sayısı da s − 1 tek sayısıyla eşlenmiş olur. Yani her tek ve her çift sayı için o sayıyı içeren bir ikili vardır. Dolayısıyla tek sayılar kümesi ile çift sayılar kümesi aynı büyüklüktedir.

Çift Sayılar ve Pozitif Tam Sayılar

Şimdi aynı yöntemle pozitif tam sayılar kümesiyle çift sayılar kümesini karşılaştıralım. Elimizde ℤ⁺ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} ve S = {2, 4, 6, …} kümeleri var. Sezgisel olarak pozitif tam sayılar kümesinin daha büyük olmasını bekleriz.

Bu kez bire bir ve örten fonksiyonu bulmaya çalışalım. Her n pozitif tam sayısını kendisinin iki katıyla, yani 2n ile eşleyebiliriz. Böylece (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), … ikililerini elde ederiz. Her n pozitif tam sayısı için (n, 2n) ikilisi, her s çift sayısı için de (s/2, s) ikilisi vardır. Bire bir ve örten bir fonksiyon bulduk: çift sayılar kümesi ile pozitif tam sayılar kümesi aynı büyüklüktedir, yani aynı kardinaliteye sahiptir.

Bu kafa karıştırıcı görünebilir; çünkü pozitif tam sayılar çift sayılardan daha fazla eleman içerir. Pozitif tam sayılar bütün çift sayıları, üstüne bir de bütün tek sayıları içerir. Yine de bir bire bir ve örten fonksiyon bulabildiğimiz için iki küme aynı büyüklüktedir.

Pozitif Tam Sayılarla Karşılaştırma

Pozitif tam sayılar aslında sonsuz bir kümenin en küçük büyüklüğünü belirler. Başka bir kümenin pozitif tam sayılarla aynı büyüklükte olup olmadığını çoğu zaman oldukça kolay anlarız: kümeden pozitif tam sayılara bire bir ve örten bir fonksiyon bulmak yeter. Pratikte bu, M kümemizin elemanlarını numaralandırabilmemiz, yani sıralayabilmemiz demektir.

Yani kümenin elemanlarını hangisinin birinci, hangisinin ikinci, üçüncü, dördüncü, onuncu vb. olduğuna karar verecek şekilde sıralayabiliyorsak, küme ℤ⁺ ile aynı büyüklüktedir. Böyle bir kümeye sayılabilir küme deriz.

Pozitif tek ve çift sayıların sayılabilir olduğunu kolayca görürüz; çünkü birinci, ikinci, üçüncü vb. çift/tek sayıyı belirleyebiliriz. Peki çift tam sayılar? Yani S = {…, −4, −2, 0, 2, 4, …} kümesi. Bunları sıralayabilir miyiz? Evet; bir önceki sıralamayı alıp pozitif çift sayının hemen ardına negatifini yazarız: S = {0, 2, −2, 4, −4, 6, −6, …}. Tam sayılar için de benzer şekilde yapabiliriz.

Rasyonel Sayıların Büyüklüğü

Daha ilginç bir örnek rasyonel sayılar, yani kesirlerdir. Onları sıralayabilir miyiz? Evet, ama biraz daha zordur. Sonsuz sayıda satırı ve sütunu olan bir tablo oluşturalım. Her hücrede bir kesir olsun. n. sütun ve m. satırda n/m kesrini yazalım. Yani 1. sütun ve 2. satırda $\frac{1}{2}$, 3. sütun ve 4. satırda 3/4 vardır.

$$\begin{array}{ccccc}1/1& 2/1& 3/1& 4/1& \dots \\ 1/2& 2/2& 3/2& 4/2& \dots \\ 1/3& 2/3& 3/3& 4/3& \dots \\ 1/4& 2/4& 3/4& 4/4& \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}$$

Şimdi bu sayıları nasıl sıralar, numaralandırırız? Satır satır ya da sütun sütun numaralandıramayız; çünkü ilk satırın ya da sütunun içinde kaybolur, ondan hiç çıkamazdık. Bunun yerine sayıları köşegenler boyunca alırız: (birinci köşegen:) 1/1, (ikinci köşegen:) 2/1, 1/2, (üçüncü köşegen:) 3/1, 2/2, 1/3, (dördüncü köşegen:) 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, … Bu listede hâlâ çok sayıda tekrar eden kesir var, ama sorun değil. Daha büyük sorun, negatif sayıların olmaması. Bunu kolayca çözeriz: bir kesir yazdığımızda hemen ardına negatifini koyarız. Son olarak en başa sıfırı ekleriz. Hepsi bu kadar; bütün rasyonel sayılar bir dizi hâlinde elimizde.

Sonuçta şu diziyi elde ederiz: 0, 1/1, −1/1, 2/1, −2/1, 1/2, −1/2, 3/1, −3/1, 2/2, −2/2, 1/3, −1/3, …

Gerçek Sayıların Büyüklüğü

Gerçek sayılar pozitif tam sayılar kadar mıdır? Karar vermek rasyonel sayılardan da zordur. Çelişki ile ispat yapacağız. Gerçek sayıların sayılabilir olduğunu, yani pozitif tam sayılara bire bir ve örten bir fonksiyon bulunduğunu varsayalım. Yani onları sıralayabileceğimizi varsayalım. Şu tablonun da o sıralama olduğunu düşünelim:

$$\begin{array}{ccccccccc}0,& 3& 5& 2& 2& 4& 6& 0& \dots \\ 0,& 2& 9& 2& 4& 3& 7& 5& \dots \\ 0,& 7& 2& 3& 0& 8& 4& 5& \dots \\ 0,& 1& 4& 3& 7& 9& 0& 6& \dots \\ 0,& 0& 8& 6& 5& 7& 5& 8& \dots \\ 0,& 7& 5& 4& 6& 3& 6& 3& \dots \\ 0,& 3& 4& 1& 9& 7& 0& 0& \dots \\ \dots \end{array}$$

Tabloda sıralamamızdaki ilk yedi gerçek sayı var. Bu sıralama elbette keyfî olabilir; sayıların büyüklüğüne göre dizilmiş olması gerekmez.

Varsayıma göre bu sonsuz tabloda bütün gerçek sayılar sıralanmıştır. (Tablo yine sonsuzdur, burada yalnızca ilk yedi kayıt var.) Şimdi gerçek olan ama bu tabloda bulunmayan bir sayı bulmaya/oluşturmaya çalışacağız. Böyle bir sayı bulursak bu, tabloda bütün gerçek sayıların olduğu varsayımıyla çelişir ve gerçek sayılar kümesinin sayılabilir olmadığı sonucuna varırız.

Tabloda olmayan o sayıyı şöyle oluşturuyoruz:

$$\begin{array}{ccccccccc}0,& \boxed{\text{3}}& 5& 2& 2& 4& 6& 0& \dots \\ 0,& 2& \boxed{\text{9}}& 2& 4& 3& 7& 5& \dots \\ 0,& 7& 2& \boxed{\text{3}}& 0& 8& 4& 5& \dots \\ 0,& 1& 4& 3& \boxed{\text{7}}& 9& 0& 6& \dots \\ 0,& 0& 8& 6& 5& \boxed{\text{7}}& 5& 8& \dots \\ 0,& 7& 5& 4& 6& 3& \boxed{\text{6}}& 3& \dots \\ 0,& 3& 4& 1& 9& 7& 0& \boxed{\text{0}}& \dots \\ \dots \end{array}$$

Önce 0,… yazarız. Yeni gerçek sayımız başta böyle görünecek. Birinci ondalık basamakta, sıralamamızdaki birinci gerçek sayının birinci basamağında olmayan bir rakam olacak (tabloda çerçeveyle gösterildi). Orada 3 rakamı var, o hâlde örneğin 1 seçeriz ve 0,1… sayısını elde ederiz.

Devam edelim. İkinci basamakta, ikinci gerçek sayının ikinci basamağında olmayan bir rakam olacak. Orada 9 var, o hâlde örneğin 2. 0,12… sayısını elde ederiz. Üçüncü basamakta, üçüncü gerçek sayının üçüncü rakamından farklı bir rakam olacak. Orada 3 var, o hâlde mesela 7 seçeriz. 0, 127… elde ederiz.

Böyle böyle devam ederiz. Yeni sayının n. basamağında, sıralamamızdaki n. sayının n. basamağındaki rakamdan farklı bir rakam olur.

Bununla ne elde ederiz? Sıralamamızdaki bütün sayılardan en az bir rakamda farklı olan bir sayı elde ederiz. Son geçici sonucu alalım: 0,127… Bu sayı, sıralamamızdaki birinci sayıdan en az birinci rakamda kesinlikle farklıdır; çünkü onu öyle oluşturduk. İkinci sayıdan en az ikinci rakamda farklıdır. Üçüncüden üçüncü rakamda. Genel olarak bu yeni sayı, sıralamada n. sırada olan sayıdan en az n. basamaktaki rakamda farklıdır.

Yeni oluşturduğumuz bu sayıyı, pozitif tam sayılarla gerçek sayılar arasındaki bire bir ve örten fonksiyonu simgeleyen tabloda bulamayız. Demek ki gerçek sayılar pozitif tam sayılardan daha fazladır. Gerçek sayılar sayılabilir değildir, sayılamazdır.

Başka Kaynaklar

• Are there more odd or even numbers?