✖

Cebirsel Sayılar

Tam sayı katsayılı bir polinomun kökü olan sayıya cebirsel sayı diyoruz. Bu gerçekte ne anlama geliyor? Herhangi bir sayı alıp onunla şöyle bir matematik oyunu oynayabiliriz. Oyunun amacı, bir x sayısını alıp sıfıra indirgemektir; ama bunun için yalnızca toplama, çıkarma, çarpma ve üs alma işlemlerini kullanabiliriz ve düzenlemelerde yalnızca tam sayıları kullanabiliriz. Örnekler üzerinden daha açık olacak.

Başlangıç için 42 sayısını alalım. Sıfır elde etmek için onu nasıl düzenlerdik? Ondan 42 tam sayısını çıkarırsak sıfırı buluruz (sıfırla çarpmak yasak):

42−42=0

42 sayısını sıfıra indirgeyebildiğimize göre 42 cebirsel bir sayıdır. Bu oldukça basitti. Peki bir kesir, örneğin 73 olsaydı? Yalnızca tam sayılarla çalışabildiğimiz için sıfır elde etmek üzere bu kesirden 73 çıkaramayız. Başka bir yol bulmamız gerekir. Önce kesri 3 ile çarpalım:

3⋅73=3⋅73=7

Bir tam sayı elde ettik ve bunu sıfıra çevirmeyi biliyoruz: 7 çıkarırız. Böylece şunu yazabiliriz:

3⋅73−7=0

ve üçte yedi kesrinin de cebirsel bir sayı olduğunu söyleyebiliriz. Şimdi daha karmaşık bir sayı alalım, 2’nin karekökünü: 2. Hiçbir çarpma ya da toplama işimize yaramaz, önce kökten kurtulmamız gerekir. İfadenin karesini alalım:

(2)2=2

Sıfıra çevirmeyi bildiğimiz bir tam sayı elde ettik, 2 çıkaralım:

(2)2−2=0

İrrasyonel sayı olan 2’nin karekökü de cebirsel bir sayıdır. Şimdiye kadar denediğimiz her sayı cebirsel gibi görünüyor. Peki ya Euler sayısı e? O da irrasyoneldir; yani 2’nin karekökü gibi sonsuz ve devirsiz bir ondalık açılımı vardır. Yaklaşık değeri 2,71’dir. Ancak 2’nin karekökünden farklı olarak izin verdiğimiz işlemlerle onu sıfıra indirgemenin hiçbir yolu yoktur. Euler sayısına bir şey eklesek de, onu bir şeyle çarpsak da ya da kuvvetini alsak da her seferinde yine başka bir irrasyonel sayı elde ederiz. Bu yüzden Euler sayısı cebirsel bir sayı değildir, yaşasın!

Benzer biçimde pi sayısı da (3,14) cebirsel değildir.

Cebirsel olmayan bu tür sayılara aşkın sayılar diyoruz.

Daha Kesin Tanım

Yani her cebirsel sayı için, kökü tam olarak bu cebirsel sayı olan, tam sayı katsayılı bir polinom (çok terimli) bulunmalıdır. Bir polinomun kökü, polinomu sıfıra eşitleyen sayıdır. Yukarıdaki örneklere dönersek, 42 sayısı için şu denklemi elde ederdik:

x−42=0

x − 42 polinomunun kökü tam olarak x = 42 olduğundan 42 cebirsel bir sayıdır. Rasyonel sayı 73 için denklem şu olurdu:

3x−7=0

çünkü 3x − 7 polinomunun kökü tam olarak x=73’tür. Son olarak 2’nin karekökü için şunu elde ederdik:

x2−2=0

çünkü x2 − 2 polinomunun kökü tam olarak 2’nin karekökü olur. Euler sayısı ya da pi sayısı için böyle bir denklem ya da polinom kuramayız, çünkü bunlar aşkın sayılardır ve cebirsel sayı değildir.

Cebirsel Sayı Örnekleri

  • Her tam sayı aynı zamanda cebirseldir.
  • Her rasyonel sayı (kesirler) cebirseldir.
  • İrrasyonel sayılar daha karmaşıktır. Gördüğümüz gibi, bazı irrasyonel sayılar 2’nin karekökü gibi cebirseldir, ama Euler sayısı gibi bazıları değildir.
  • Bir tam sayının her n. dereceden kökü cebirseldir.
  • Altın oran cebirsel bir sayıdır.

Bağlantılar ve Kaynaklar