✖

Tam Kareye Tamamlama

Tam kareye tamamlama yöntemiyle ikinci dereceden fonksiyonu ax2 + bx + c biçiminden (x + m)2 + n biçimine getirebiliriz.

Tam Kareye Tamamlama Algoritması

Algoritma, parantezin karesini alan klasik formülden yararlanır:

(a+b)2=a2+2ab+b2

İzlenecek yol şöyledir. Şimdilik a = 1 olduğunu varsayalım. f(x) = x2 + 6x + 1 biçiminde ikinci dereceden bir fonksiyonumuz olsun ve onu (x + m)2 + n biçimine getirmek isteyelim. Önce ilk parantezdeki değerleri belirleriz: (x + m)2. m yerine hangi sayıyı yazmalıyız? Formüle göre (x + m)2 = x2 + 2mx + m2 eşitliği sağlanmalıdır. f fonksiyonunda x2 var, bu uygun. Ama birinci dereceden terimin yerinde 6x var. 6x = 2mx olması için m yerine hangi değeri seçmeliyiz? Açıkça m = b/2 = 6/2 = 3 olmalıdır. Yani m yerine her zaman ikinci dereceden fonksiyondaki b sayısının yarısını yazarız.

Böylece (x + 3)2 + n biçimini elde ettik. n sayısını belirlemek kaldı. (x + m)2 = x2 + 2mx + m2 olduğunu zaten biliyoruz. x2 + 2mx kısmı istediğimiz şey, ama m2 ifadesi fazla geliyor; f fonksiyonunda bunun bir karşılığı yok. Bu yüzden mevcut sonuçtan m2 çıkarırız. Böylece (x + m)2 − m2 biçimini elde ederiz; parantezi açınca bu x2 + 2mx + m2 − m2 eder. Çıkarma sonrasında yalnızca x2 + 2mx kalır.

Ama f fonksiyonunda bir de sabit terim c var. Onu basitçe ekleriz. Böylece (x + m)2 − m2 + c biçimini, parantezi açınca x2 + 2mx + m2 − m2 + c ifadesini, sadeleştirince de x2 + 2mx + c ifadesini elde ederiz. m = b/2 olduğundan bu ifade x2 + bx + c ifadesine eşittir; yani (x + m)2 − m2 + c ifadesinin parantezini açınca yeniden ilk fonksiyonu elde ederiz, doğru hesapladık. (Hatırlatayım, a = 1; yani burada hiçbir şey eksik değil.)

Örnek f fonksiyonu için kare biçiminde (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8 ifadesini elde ederiz. Geri açarak deneyebiliriz:

(x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1

Tam kareye tamamlama yöntemi örneğin ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmek istediğinde kullanılır.

a ≠ 1 Olduğunda

a = 1 olmayan bir fonksiyonumuz varsa bütün fonksiyondan a sayısını ortak çarpan parantezine alırız ve bildiğimiz gibi devam ederiz. Örnek:

2x2+16x−12=0

Bütün fonksiyondan 2’yi ortak çarpan parantezine alırız:

2⋅(x2+8x−6)=0

Parantezin içindeki fonksiyonu artık tam kareye tamamlayabiliriz.

x2+8x−6=(x+4)2−16−6=(x+4)2−22

Bu sonucu önceki denklemde yerine yazarız ve şunu elde ederiz:

2⋅(x2+8x−6)=2((x+4)2−22)=2(x+4)2−44