Aralık

Aralıklar matematikte çok sık kullanılır ve hemen her tanımda karşımıza çıkar. Aralık, iki uç noktayla sınırlanan bir nokta kümesidir. Ayrıca açık ve kapalı aralıkları ayırt ederiz.

Temel Açıklama

Aralıkları günlük konuşmada da kullanırız; örneğin “göz rengin yanlışsa 10 bin ile 20 bin TL arasında para cezası alabilirsin”. Örnekte “arasında” sözü kullanılıyor, ama matematiksel olarak bu bir aralıktır. Şimdi sinsi sorular başlıyor: tam 10 bin TL ceza kesilebilir mi, yoksa uç değer sayılmıyor mu? Cezayı ne kadar ince ayarlayabilirim? 18.541,97 TL ceza verebilir miyim? Yoksa yalnızca yüzlük basamaklarla mı ilerleyebilirim? Yani 18.500 TL mi, 18.600 TL mi?

Bunların hepsini matematiksel gösterim çözer. Bunun için iki önemli şeyi söylemeliyiz: hangi küme içinde çalışıyoruz (örneğin: yüzlükler mi? Binlikler mi? Tam liralar mı?) ve uç noktalar aralığa dahil mi (tam 10 bin ya da 20 bin TL ceza kesilebilir mi?).

İyi haber şu: matematikte çoğu durumda aralığın gerçek sayılar kümesinde alınmasını isteriz; yani kümesi belirtilmemiş bir aralıkla karşılaşırsan bu kesinlikle gerçek sayılardır.

Başlangıç kümesini belirledik. Şimdi uç noktaları hesaba katmak isteyip istemediğimizi nasıl göstereceğiz? Aralıklar parantezlerle yazılır. Yuvarlak parantez, ilgili uç noktanın aralığa ait olmadığını, köşeli parantez ise uç noktanın aralığa ait olduğunu gösterir. Buna açıklık ve kapalılık deriz. Uç nokta aralığa aitse aralık kapalıdır, ait değilse aralık açıktır.

Örnekler

Aşağıda örnekler var (başka bir şey söylenmedikçe hepsi gerçek sayılar kümesindedir):

• [1, 2]   Birden ikiye kapalı aralık. Aralığa, 1 ve 2 dahil olmak üzere 1 ile 2 arasındaki bütün gerçek sayılar girer.
• (1, 2)   Birden ikiye açık aralık. Aralığa bir ile iki arasındaki bütün gerçek sayılar girer, ama 1 ve 2 sayıları aralığa ait değildir.
• [0, 1)   Aralık soldan kapalı, sağdan açıktır. Aralığa sıfır dahil olmak üzere sıfır ile bir arasındaki bütün sayılar girer, ama bir aralığa ait değildir.
• (p, q]   Aralık soldan açık, sağdan kapalıdır. Aralığa p ile q arasındaki bütün sayılar girer; q sayısı dahildir, p sayısı hariçtir.
• [0, ∞)   Soldan kapalı, sağdan açık aralık. Aralıkta sonsuz varsa o taraftan açık aralık kullan; sonsuzun sonlu bir uç noktası yoktur, orada kapalı aralığın anlamı yoktur.
• [1, 5] ⊂ ℤ⁺   Burada bir değişiklik var: gerçek sayılar kümesiyle değil, pozitif tam sayılar kümesiyle çalışıyoruz. İki taraftan kapalı bir aralığımız var ve bu aralıkta toplam beş sayı vardır: 1, 2, 3, 4 ve 5.
• (1, 5] ⊂ ℤ⁺   Az önceki durumun aynısı, yalnızca aralık soldan açıktır; bu yüzden 1 aralığa ait değildir ve aralığın bütün elemanları şunlardır: 2, 3, 4 ve 5.

Küme Olarak Aralık

Görüldüğü gibi aralık, üzerinde tanımlandığı kümenin bir alt kümesinden başka bir şey değildir. Bu yüzden aralıklarla küme gibi çalışabilir ve onlara küme işlemleri uygulayabiliriz. Örneğin birleşim şöyle görünebilir:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Açık aralıklara dikkat et; orada bu eşitlik geçerli olmaz, çünkü beş sonuç aralığına ait değildir:

$$(0,5)\cup (5,10)\ne (0,10)$$

Doğrusu örneğin şöyle olabilir:

$$(0,5)\cup (5,10)=(0,10)-\{5\}$$

Açık Aralık Ne Zaman Kullanılır

Açık ve kapalı aralık arasındaki farkı anlamak gerekir. Açık aralığın sık kullanıldığı bir durum, örneğin logaritmanın tanım kümesidir. Logaritmayı herhangi bir pozitif gerçek sayıyla kullanabiliriz; yani negatif sayıyla da sıfırla da kullanamayız. Bunu nasıl yazarız?

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi şöyledir:

$$x\in (0,\mathrm{\infty })$$

Bu gösterim, logaritmayı istediğimiz kadar küçük bir pozitif sayıyla kullanabileceğimizi, ama sıfırla kullanamayacağımızı söyler. Yani örneğin 1 sayısı aralığa girer, 0,001 de girer, 0,0000000001 de, 10⁻⁶⁶⁶ da. Ama sıfır artık aralığa girmez. Benzer şekilde paydasında değişken olan bir fonksiyonun, örneğin sade f(x) = 1/x fonksiyonunun tanım kümesini yazabiliriz.

$$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\mathrm{\infty })$$

Bu, sıfır hariç gerçek sayılar kümesini belirler. İki aralığın hiçbirinde sıfır kapalı uç yerinde değildir, o yüzden birleşimde de sıfır olmaz. Ama istediğimiz kadar küçük pozitif ya da istediğimiz kadar büyük negatif bir sayı kullanabiliriz (negatif sayılarda -0,001 sayısı -0,1 sayısından büyüktür; bu yüzden “istediğimiz kadar küçük” değil, “istediğimiz kadar büyük” sayı deriz).

Geometrik Yorum

Aralıkları genellikle sayı doğrusu üzerinde doğru parçası olarak gösteririz; uç noktaları aralığın kapalı ya da açık olmasına göre seçeriz. Aralık kapalıysa uç noktayı gösteren daire içi dolu, açıksa içi boş olur; yalnızca bir çerçeve, yalnızca bir çember çizilir.

Aşağıdaki şekil, hepsi 2’den 6’ya olan ama uçlarının kapalılığı farklı üç aralığı gösteriyor. Sırasıyla şu aralıklar gösterilmiştir: [2, 6], (2, 6], (2, 6).