0,999… Neden 1’e Eşittir

Virgülden sonra sonsuz tane 9 gelen 0,999… sayısı 1’e eşittir. Yaklaşık olarak ya da “neredeyse” değil, tam olarak eşittir. İnsanların çoğu buna ilk başta inanmaz ve bu tek sayı hakkındaki tartışmalar, internetteki en sık matematik tartışmaları arasındadır. Birkaç ispat göstereceğiz, sonunda da sezgimizin neden hâlâ tersini fısıldadığını anlayacağız.

Her devirli sayıda olduğu gibi bunu da tekrar eden rakamın üzerine çizgi çizerek yazabiliriz:

$0, \overset{―}{9} = 1$

Üçte Birler Üzerinden

Kimsenin itiraz etmediği bir kesirden yola çıkalım. 1’i 3’e bölersek devirli bir sayı elde ederiz:

$\frac{1}{3} = 0,333 \dots$

Şimdi eşitliğin iki tarafını da 3 ile çarpalım. Sol tarafta

$3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1.$

çıkar. Sağ tarafta her 3’ü ayrı ayrı çarparız. 3 · 3 = 9 olduğundan ve üst basamağa elde aktarılmadığından

$3 \cdot 0,333 \dots = 0,999 \dots$

çıkar. Sol taraflar eşit olduğuna göre sağ taraflar da eşit olmalıdır: 1 = 0,999… 0,333… sayısını üçte bir olarak kabul eden biri bunu da reddedemez.

On Katı Üzerinden

Bu yöntemi rasyonel sayılar yazısında görmüştük; orada aynı yöntemle devirli sayı kesre çevriliyordu. Sayımıza a diyelim:

$a = 0, \overset{―}{9}$

10 ile çarpalım. Virgül bir basamak sağa kayar ve virgülden sonra yine sonsuz tane 9 kalır:

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

Bundan a değerini çıkaralım; virgülden sonraki bütün 9’lar birbirini götürür:

$9 a = 9$

Geriye 9’a bölmek kalıyor:

$a = 1$

Fark Ne Kadar?

0,999… ile 1 farklı olsaydı, aralarındaki fark pozitif bir sayı olurdu. Bu farkı bulmaya çalışalım. Önce 9’ların sayısını sonlu alalım:

$\begin{array}{rcl} 1 - 0, 9 & = & 0, 1 \\ 1 - 0, 99 & = & 0, 01 \\ 1 - 0,999 & = & 0,001 \end{array}$

Her yeni 9 farkı on kat küçültür. Resmin en üstünde sıfırdan bire uzanan bir sayı doğrusu var; mavi nokta 0,9 sayısında, kırmızı parça ise 1’e kalan mesafede. Sonraki her doğru bu parçayı on kat büyütür; bu yüzden mavi noktalar sırayla 0,9, 0,99 ve 0,999 sayılarında yer alır:

Bir, iki ve üç tane 9 içeren sayılarda 1’e kalan parça, her seferinde on kat büyütülmüş

İstediğimiz kadar küçük bir pozitif sayı seçelim, örneğin milyarda bir: yeterince çok 9 alırsak fark bundan da küçük olur. 0,999… sayısında ise bütün 9’lar aynı anda vardır, sonsuz tanedir; dolayısıyla fark her pozitif sayıdan küçük olmak zorundadır. Oysa bütün pozitif sayılardan küçük olan bir pozitif sayı yoktur, çünkü o sayı kendi yarısından bile küçük olmak zorunda kalırdı. Demek ki fark ancak sıfır olabilir.

Sık yapılan bir itiraz, farkın 0,000…01 olduğudur; yani sonsuz tane sıfır ve en sonda bir 1. Ancak sonsuz tane sıfırdan oluşan dizilimin sonu yoktur, dolayısıyla 1’i yazacak bir yer de yoktur.

Aralarına Hiçbir Şey Sığmaz

Birbirinden farklı herhangi iki gerçek sayı arasında her zaman başka bir sayı buluruz; örneğin bu sayıların ortalamasını. 0,5 ile 0,6 arasında 0,55 vardır, 0,5 ile 0,55 arasında ise 0,525. Bu, birbirine ne kadar yakın olursa olsun, birbirinden farklı her sayı çifti için geçerlidir: ortalamaları her zaman aralarına sığar.

0,999… ile 1 arasında hangi sayı olurdu? 0,999… sayısından büyük, 1’den küçük olmalıydı; yani sıfır virgülle başlardı. O zaman virgülden sonraki rakamlarından en az biri 9’dan büyük olmak zorunda kalırdı, böyle bir rakam ise yoktur. İki sayının arasına hiçbir şey sığmadığına göre bu sayılar aynıdır.

Sonsuz Toplam Olarak

Ondalık gösterim aslında bir toplamdır: 0,999… ifadesi, onda dokuz artı yüzde dokuz artı binde dokuz ve böyle devam eder demektir:

$0,999 \dots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots$

Her toplanan bir öncekinin onda biridir; yani geometrik dizinin terimlerini topluyoruz. İlk terim $a_{1} = \frac{9}{10}$ , ortak oran $r = \frac{1}{10}$ . Ortak oran mutlak değerce birden küçüktür, bu yüzden sonsuz toplamın sonlu bir değeri vardır ve bu değeri şu formülle hesaplarız:

$S = \frac{a_{1}}{1 - r} .$

Yerine koyalım:

$S = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$

Tam olarak söylersek, sonsuz serinin toplamı, ilk terimlerinin toplamlarından oluşan dizinin limitidir; yani 0,9; 0,99; 0,999; … dizisinin. Bu dizi 1’e yaklaşır ve 0,999… yazısı tam olarak bu limit anlamına gelir. Önceki ispatlar da buna dayanır.

Neden Buna İnanmak İstemiyoruz

Sezgimiz “çok sayıda 9” ile “sonsuz tane 9” ifadesini birbirine karıştırır. Üç tane 9 içeren 0,999 sayısı gerçekten 1’den küçüktür; bir milyon tane 9 içeren sayı da öyle. Yazdırsak birkaç yüz sayfa tutardı, yine de 1’e ulaşması için hâlâ bir eksiği olurdu. Ama $0, \overset{―}{9}$ bir yerde biten çok sayıda 9 değildir. Hiçbir zaman bitmez, bu yüzden hiçbir eksiği yoktur.

0,999… sayısını çoğu zaman bir süreç gibi de hayal ederiz: 9’lar sürekli eklenir ve sayı yavaş yavaş 1’e yaklaşır. Oysa sayı hiçbir yere hareket etmez. İçindeki bütün 9’lar en baştan oradadır ve değeri değişmez.

İkinci tökezleme noktası, tek bir sayının iki farklı yazılışının olması gerektiği düşüncesidir. Ama bunu kesirlerden de biliyoruz:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{50}{100} = 0, 5$

Yarıyı farklı kesirlerle yazabildiğimiz gibi, 0,5 için de başka bir ondalık yazılış vardır:

$0, 5 = 0,499 9 \dots$

Ondalık açılımı sonlu olan her sayının, sıfır hariç, iki yazılışı vardır; örneğin 0,25 = 0,24999… ya da 7 = 6,999… Bunlar iki ayrı sayı değil, iki kılığa girmiş tek bir sayıdır.

Ayrıca Bak

« Önceki: Rasyonel Sayılar

Sonraki: İrrasyonel Sayılar »