Sayı Sistemleri Arasında Dönüşüm

Sayıları onluk sistemden diğer sistemlere nasıl çevireceğimizi ve diğer sistemlerdeki sayıları nasıl onluk sisteme çevireceğimizi öğreneceğiz.

Sayı Sistemi Nedir

Genellikle onluk sayı sistemiyle çalışırız. Bu sistemde on rakam vardır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Onluk sistemin özelliği şudur: Bir sayıyı, örneğin 57’yi, 10 ile çarptığımızda bir basamak kayarız; sayıyı yazmak için bir rakam daha gerekir: 570.

Başka sayı sistemleri de olabilir. Örneğin sekizli sistemde yalnızca 0, …, 7 rakamları bulunur. Bu yüzden 7 + 1 işleminin sonucu 10 olur, çünkü sekizli sistemde 8 rakamı yoktur. On altılı sistemin rakamları ise 0, 1, … 14, 15 olurdu. 9’dan büyük rakamlar yerine bazen harfler kullanırız; böylece on altılı sistemin rakamları 0, …9, A, B, C, D, E, F olur.

Şaşırtıcı biçimde günlük hayatta da başka sayı sistemleriyle karşılaşırız. Örneğin zaman: saniyeleri ve dakikaları altmışlı sistemde sayarız. Günün her anını altmışlı sistemde üç basamaklı bir sayı olarak yazabiliriz. İlk basamak saati, ikincisi dakikayı, üçüncüsü saniyeyi gösterir. Basamakları ayırmak için iki nokta üst üste kullanırsak, örneğin 14:05:59 sayısını elde ederiz. Dikkat et: Bu zamana 1 saniye eklediğimizde 14:05:60 değil, 14:06:00 elde ederiz — çünkü 60, altmışlı sistemin geçerli bir rakamı değildir.

Onluk Sistemden İkili Sisteme Dönüştürme

Elimizde kâğıt üzerinde 70 sayısı olsun. Bu sayıyı şimdi ikili (binary) sayı sistemine çevirmek isteyelim. Yöntem oldukça basit: Çevirmek istediğimiz sayıyı sıfıra ulaşana kadar sürekli 2’ye böleriz ve her bölmedeki kalanı yazarız. Sayıyı başka bir sisteme, örneğin on altılı sisteme çevirmek istersek 16’ya böleriz. Altılı sisteme çevirmek istersek 6’ya böleriz. Uygulamada şöyle görünür:

$$\begin{array}{rcl}70:2& =35& ⟶0(\text{kalan})\\ 35:2& =17& ⟶1\\ 17:2& =8& ⟶1\\ 8:2& =4& ⟶0\\ 4:2& =2& ⟶0\\ 2:2& =1& ⟶0\\ 1:2& =0& ⟶1\end{array}$$

İkili sistemdeki sayıyı kalanlar verir. Ancak kalanları yukarıdan değil, aşağıdan yukarıya doğru okuruz. Yani 70 sayısı ikili sistemde 1000110 olarak yazılır.

İkili Sistemden Onluk Sisteme Dönüştürme

Ters yönde şöyle yaparız. Elimizde 1100010 sayısı olsun ve bunu onluk sisteme çevirelim. Bu yön daha kolaydır; şu toplamı hesaplamak yeterlidir:

$${1100010}_2=1\cdot 2^6+1\cdot 2^5+0\cdot 2^4+0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0$$

Her toplanan x · 2ⁱ biçimindedir; burada x ikili sayının bir rakamıdır ve i sağdan başlayarak her adımda 1 artar. 1100010 sayısını çevirdiğimiz için bu toplam şöyle görünür:

$${1100010}_2=\boxed{\text{1}}\cdot 2^6+\boxed{\text{1}}\cdot 2^5+\boxed{\text{0}}\cdot 2^4+\boxed{\text{0}}\cdot 2^3+\boxed{\text{0}}\cdot 2^2+\boxed{\text{1}}\cdot 2^1+\boxed{\text{0}}\cdot 2^0$$

1100010 sayısı yedi basamaklıdır, bu yüzden 2’nin üsleri sırasıyla 6, 5, …, 1, 0 olur. Üsleri alıp çarptıktan sonra şu ifadeyi elde ederiz:

$${1100010}_2=64+32+2=98.$$

Bu Yöntem Neden Çalışır?

Bunu onluk sistem üzerinde gösterebiliriz. Bir sayıdaki rakamlar gerçekte ne anlama gelir? Örneğin 7.384 sayısında 4 rakamı birlerin sayısını, 8 rakamı onların sayısını, 3 rakamı yüzlerin sayısını, 7 rakamı da binlerin sayısını gösterir. Yani şöyle yazabiliriz:

$$7384=7\cdot 1000+3\cdot 100+8\cdot 10+4\cdot 1$$

Bu ifadeyi 100, 10 ve 1 sayılarını kullanmayacak, her yerde 10’un bir üslü ifadesi bulunacak biçimde düzenleyebiliriz. 10⁰ = 1 ve 10¹ = 10 olduğundan şunu yazabiliriz:

$$7384=7\cdot {10}^3+3\cdot {10}^2+8\cdot {10}^1+4\cdot {10}^0$$

Onluk sistemdeki her sayıyı aynı biçimde yazabiliriz; toplananlar x · 10ⁱ biçimindedir, burada x 0’dan 9’a kadar bir rakamdır, yani on rakamımız var. i değeri ise basamağı gösteren, negatif olmayan bir tam sayıdır. i = 0 ise toplanan birleri, i = 2 ise yüzleri gösterir (çünkü 10² = 100).

Şimdi 7.348 sayısını onluk sistemden… şey…, onluk sisteme çevirmeyi deneyelim. Bunun bir anlamı olacak. 7.348 sayısını 10’a böleceğiz:

$$\begin{array}{rcl}7348:10& =734& ⟶8(\text{kalan})\\ 734:10& =73& ⟶4\\ 73:10& =7& ⟶3\\ 7:10& =0& ⟶7\end{array}$$

Kalanları aşağıdan yukarıya okursak yine 7.348 sayısını, yani … aynı sisteme çevirmeye çalıştığımız ilk sayıyı elde ederiz.

İkili sistemi tanımlamak istersek de tamamen aynı yolu izleriz: Bütün toplananlar x · 2ⁱ biçiminde olur, burada x 0 veya 1 rakamıdır. i değeri yine basamakları gösterir. Sayıyı art arda 10’a bölmek onluk sistemdeki basamakları verdiği gibi, art arda 2’ye bölmek de ikili sistemdeki basamakları verir.

Ayrıca bir sayıyı 10’a böldüğümüzde kalanın her zaman [0, 9] aralığında olduğuna dikkat et. Sayıyı 2’ye bölersek kalan ya 0 ya da 1 olur.

Diğer Sistemlere Dönüştürme

Onluk sistemden ikili sisteme dönüştürme yöntemi o kadar genel ki diğer sistemlerde de kullanılabilir. 185 sayısını on altılı sisteme çevirmek istersek yalnızca 16’ya böleriz:

$$\begin{array}{rcl}185:16& =11& ⟶9(\text{kalan})\\ 11:16& =0& ⟶11\end{array}$$

185 sayısı 16’lık sistemde (11, 9) biçimindedir. 9’dan büyük “rakamlar” yerine genellikle harfler kullanılır; yani 10 = A, 11 = B, 12 = C, … Böylece 185 sayısının 16’lık sistemde B9 olarak yazıldığını söyleyebiliriz.

Benzer şekilde 16’lık sistemdeki B9 sayısını onluk sisteme de çevirebiliriz.

$$B{9}_{16}=11\cdot {16}^1+9\cdot {16}^0=11\cdot 16+9=185$$

Sayı Sistemi Dönüştürme Aracı (Çevrimiçi)

• Sayı sistemi dönüştürücü