Tam Sayılar

Tam sayılar ondalık kısmı olmayan sayılardır; içlerinde doğal sayılar, bunların toplamaya göre tersleri (negatif sayılar) ve sıfır bulunur.

Özellikler

Tam sayılar, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … sayılarını içeren bir küme oluşturur. Bu kümeyi genellikle ortadaki çizgisi çift çizilmiş Z harfiyle gösteririz: ℤ. Harf, Almanca “Zahlen” (sayılar) sözcüğünden gelir. Tam sayılar sonsuz ve sayılabilir bir küme oluşturur.

Tam sayıların örneğin şu özellikleri vardır:

1. Doğal sayılar gibi toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdırlar. Yani iki tam sayıyı toplarsak yine bir tam sayı elde ederiz.
2. Doğal sayılardan farklı olarak tam sayılar çıkarma işlemine göre de kapalıdır. Doğal sayılar kapalı değildi, çünkü iki doğal sayının farkı negatif çıkabiliyordu. Tam sayılarda bu bir sorun değildir, çünkü negatif sayılar da kümenin içindedir.
3. Doğal sayılar gibi bölme işlemine göre kapalı değildir. Bölünce hâlâ tam olmayan bir sayı elde edebiliriz.
4. Her c tam sayısı için toplamaya göre tersi olan −c vardır. 10 sayısının toplamaya göre tersi −10’dur. 55 için −55’tir. Negatif sayılarda da aynı durum geçerlidir: −13 için ters eleman 13’tür. Bir c tam sayısını ve onun toplamaya göre tersi olan −c sayısını toplarsak sıfırı buluruz: c + (−c) = 0. Bu yüzden sıfırın toplamaya göre tersi yine sıfırdır.

Çift ve Tek Sayılar

Tam sayıları çift ve tek sayılar olarak ayırabiliriz. Çift sayılar 2’ye bölünebilen sayılardır, yani 2, −4, −8, 40, 124 vb. Tek sayıların ise 2’ye bölümünden kalan 1’dir, yani bunlar −1, 1, 5, 19, −41 vb. sayılardır. Negatif sayılarda da çift ya da tek ayrımı yaptığımıza (yani −5 sayısının gerçekten tek olduğuna) ve sıfırın çift sayı olduğuna dikkat et.

Toplama işlemi için özellikler: iki çift sayıyı toplarsan yine çift sayı elde edersin. Diğer özellikleri aşağıdaki tablo gösteriyor:

$$\begin{array}{rcl}\text{çift}+\text{çift}& =& \text{çift}\\ \text{çift}+\text{tek}& =& \text{tek}\\ \text{tek}+\text{tek}& =& \text{çift}\end{array}$$

Çarpma için benzer bir tablo:

$$\begin{array}{rcl}\text{çift}\cdot \text{çift}& =& \text{çift}\\ \text{çift}\cdot \text{tek}& =& \text{çift}\\ \text{tek}\cdot \text{tek}& =& \text{tek}\end{array}$$

Kalanlı Bölme

Tam sayılar kümesinde de doğal sayılardakine benzer biçimde kalanlı bölmeyi tanımlayabiliriz; yalnızca negatif sayılarla başa çıkmamız gerekir. Temel tanım bu sefer şöyle olur:

$$a=q\cdot b+r,a,q\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}-\left\{0\right\},0\le r<|b|$$

Bu ifadede a:b işlemini yapıyoruz; q sayısı bölümü, r sayısı ise kalanı gösterir. b sayısı sıfırdan farklı olmalıdır, çünkü sıfıra bölemeyiz. Kalan negatif olmamalı ve b sayısının mutlak değerinden küçük olmalıdır; böylece bölüm ve kalan tek türlü belirlenir.

Böyle bir bölme nasıl görünürdü? −21:4 işlemini deneyelim. Sayılar şöyle olur:

$$-21=-6\cdot 4+3$$

Bölüm −6, kalan 3’tür. Bütün sayılar pozitif olsaydı sonucun farklı çıkması seni şaşırtabilir:

$$21=5\cdot 4+1$$

Burada bölüm 5, kalan 1 olurdu. Fark tam olarak negatif sayılardan kaynaklanır. Pozitif sayılarda ilk adımda 21’den büyük olmayan ve 4’e kalansız bölünebilen en büyük tam sayıyı ararız. Bu sayı 20’dir. Bu yüzden 20:4 = 5 işlemini yaparız ve 5’i buluruz. Kalanı ise 21 − 20 farkıyla elde ederiz.

Negatif sayılarda da aynı şekilde ilerleriz. −21’den büyük olmayan ve 4’e kalansız bölünebilen en büyük sayıyı ararız. Ancak −20 sayısı −21’den büyüktür. Bu yüzden −21’den büyük olmayan ve 4’e kalansız bölünebilen en büyük sayı −24’tür. Kalanı yine fark olarak buluruz: −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

İlgili Yazılar

• 2 ile Bölünebilme
• 3 ile Bölünebilme
• 4 ile Bölünebilme
• 5 ile Bölünebilme
• 6 ile Bölünebilme
• 7 ile Bölünebilme
• 8 ile Bölünebilme
• 9 ile Bölünebilme
• 10 ile Bölünebilme
• 11 ile Bölünebilme

Bağlantılar

• Vikipedi