Karmaşık Sayılar

Karmaşık sayılar, gerçek sayıların bir genişlemesidir. Gerçek sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi klasik işlemlerin çoğunu yapabiliriz (sıfıra bölme hariç). Gerçek sayılarda karekök de alabiliriz, ama yalnızca negatif olmayan sayıların. Bu bir boşluk oluşturur; örneğin ikinci dereceden bir denklemi çözerken diskriminant negatif çıktığında karşımıza çıkar. Bu boşluğu karmaşık sayılar doldurur.

Karmaşık Sayı Nedir

Karmaşık sayılar sıradan sayılardan en çok iki parçadan oluşmalarıyla ayrılır: gerçek kısım ve sanal kısım. Karmaşık sayı, (x, y) biçiminde sıralı bir sayı ikilisidir; burada x sayısı gerçek kısmı, y sayısı sanal kısmı gösterir. Gerçek kısım sıfırsa, bu saf sanal bir karmaşık sayıdır. x ve y sayılarının kendileri gerçek sayıdır.

Karmaşık sayılar kümesi büyük C harfiyle gösterilir: ℂ.

Karmaşık sayıların eşitliği: sıradan sayılardan farklı olarak karmaşık sayılar iki bileşen içerir. Bu yüzden iki karmaşık sayının eşit olması için her iki bileşende de eşit olmaları gerekir. Şu karmaşık sayılar birbirinden farklıdır: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). z₁ = (1, 2) ve z₂ = (1, 2) karmaşık sayıları ise birbirine eşittir: z₁ = z₂.

Cebirsel Biçim ve Sanal Birim

Karmaşık sayılar daha sık cebirsel biçimde yazılır; şöyle görünür. (x, y) karmaşık sayısının cebirsel biçimi x + yi’dir; burada i sayısına sanal birim denir. Sanal birimin karesi için çok önemli bir bağıntı geçerlidir:

$$i^2=-1$$

Bu eşitliği, diğer kuvvetlerle birlikte bundan sonra sık kullanacağız. Daha yüksek kuvvetler olağan biçimde hesaplanabilir. Örneğin i³ ifadesini sadeleştirmek istesek, üslü ifadelerin kurallarına göre i² · i biçiminde ayırabiliriz. i² sayısının eksi bire eşit olduğunu biliyoruz. İkinci i’yi ayrıca bir şeye ayıramayız; bu yüzden i³ = −i buluruz.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

i⁴ için de benzer şekilde. Bunu i² · i² biçiminde ayırabiliriz; i² = −1 olduğundan −1 · − 1 = 1 elde ederiz.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Yani i⁴ = 1. Sanal birimin daha yüksek kuvvetlerini hesaplarken bu bilgiyi kullanabiliriz. Örneğin i⁷ hesaplarken bunu i⁴ · i³ biçiminde ayırabiliriz. i⁴ = 1 olduğunu biliyoruz, böylece 1 · i³ buluruz. i³ = −i olduğunu da biliyoruz. Sonuç: 1 · (−i) = −i.

Toplama ve Çarpma

Karmaşık sayıları toplayabilir ve çarpabiliriz. İki karmaşık sayıyı, z₁ ve z₂ sayılarını toplarken gerçek kısımları ve sanal kısımları ayrı ayrı toplarız:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Örnek: z₁ = 3 + 7i ve z₂ = 5 + 8i olsun. Toplam şöyle olur: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

İki karmaşık sayının çarpımı biraz daha karmaşıktır, ama olağan parantez çarpımı olarak açılabilir. Temel formül şöyledir:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Ona nasıl ulaştık? z₁ · z₂ çarpımını sıradan parantezleri çarparmış gibi yapalım. Şunu buluruz:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

i² = −1 olduğundan son terimi düzenleyince şunu buluruz:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Şimdi sanal birimi içermeyen ve içeren terimleri bir araya getirelim:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Örnek. 5 + 6i ve 4 + 7i sayılarını çarpalım. Şunu buluruz:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Toplamaya Göre Ters, Çarpmaya Göre Ters ve Eşlenik

• x + yi karmaşık sayısının toplamaya göre tersi −x − yi biçimindedir. Gerçek sayılarda olduğu gibi, verilen karmaşık sayıyı eksi 1 ile çarparak toplamaya göre tersini elde ederiz. Örnek: 2 + 7i sayısının toplamaya göre tersi −2 − 7i’dir. −5 + 8i sayısının toplamaya göre tersi 5 − 8i’dir vb.

• x + yi karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi $\frac{1}{x+yi}$ biçimindedir. Buna göre 4 − 2i sayısının çarpmaya göre tersi $\frac{1}{4-2i}$’dir.

• x + yi sayısının eşleniği x − yi biçimindedir. Genellikle üzerine çizgi çekilerek $\bar{z}$ ile ya da yıldızla z* biçiminde gösterilir. Bu sayı, z karmaşık sayısının eşleniğidir. 2 + 9i sayısının eşleniği 2 − 9i sayısıdır.

Çıkarma ve Bölme

Toplamaya göre ters ve çarpmaya göre ters tanımlı olduğuna göre çıkarma ve bölme işlemlerini de tanımlayabiliriz. İki karmaşık sayıyı çıkarmak istersek, yani z₁ − z₂ işlemini yapmak istersek, z₁ sayısına z₂ sayısının toplamaya göre tersini ekleriz. Uygulamada basit bir formül elde ederiz:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Benzer biçimde z₁ / z₂ bölmesini çarpmaya çeviririz: z₁ · z₂′ çarpımını yaparız; burada z₂′, z₂ sayısının çarpmaya göre tersidir.

Mutlak Değer (Modül)

z karmaşık sayısının mutlak değerini şu formülle hesaplarız:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Karekökün içindeki ikinci z, z sayısının eşleniğidir.) Bu formülün anlamı, karmaşık sayıların geometrik gösteriminde iyi görülür.

Mutlak değeri bire eşit olan her karmaşık sayıya birim karmaşık sayı denir. Birim karmaşık sayı örnekleri: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Mutlak değerin özellikleri:

• Karmaşık sayının mutlak değeri bir gerçek sayıdır.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|; burada z* eşlenik karmaşık sayıdır.