Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar, iki tam sayının bölümü olarak yani kesir biçiminde yazılabilen bütün sayılardır.

Tanım

Yani rasyonel sayılar şu biçimde yazılabilen bütün sayılardır:

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Her iki sayının da tam sayı olması koşulunun açık bir anlamı var. Rasyonel olmayan bir sayı seçip, örneğin π sayısını alıp şöyle bir kesir kursaydın:

$$\frac{\pi }{1},$$

yine rasyonel olmayan π sayısını elde ederdin. Bu yüzden hem pay hem payda tam sayı olmalıdır. Sıfıra bölemediğimiz için payda sıfırdan farklı olmalıdır.

Rasyonel sayıların, ondalık açılımı sonlu olan sayılar ve ondalık açılımı sonsuz olup bir kısmı devirli olarak tekrar eden sayılar olduğunu da söyleyebiliriz. Önce kesir biçiminde birkaç rasyonel sayı örneği:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

Şimdi de ondalık sayı biçiminde örnekler: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=$0,\bar{3}$

Devirli Gösterim

Önceki örnekte 0,3333… sayısı vardı. Bu, 1/3 kesrinin ondalık gösterimidir ve ondalık açılımı sonsuz olan bir sayıdır. Yine de rasyoneldir, çünkü açılımı devirlidir. Devirli açılım, sayının belirli bir yerinden sonra aynı rakam dizisinin sürekli tekrar etmesi demektir. Bizim örneğimizde 3 rakamı sonsuza kadar tekrar ediyordu. Ama örneğin 12345 rakam dizisi de sonsuza kadar tekrar edebilir; bu yine devirli bir sayı, yani rasyonel bir sayı olur.

Demek ki ondalık açılımı sonlu olan her sayı rasyoneldir. Ondalık açılımı sonsuz olup bir kısmı devrederek tekrar eden her sayı da rasyoneldir. Ondalık açılımı sonsuz olan ve hiçbir kısmı devretmeyen sayı ise irrasyonel sayıdır.

Devir, ya üç nokta ile ya da daha sık olarak devreden rakamların üzerine çizilen bir çizgiyle gösterilir. Devreden bir rakam olabileceği gibi birkaç rakam da olabilir. Devir, ondalık kısmın hemen başında başlayabilir ya da daha sonra başlayabilir. Aşağıdakilerin hepsi devirli sayılardır:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\bar{3}\end{array}$$

Gösterim ve Anlamı

Rasyonel sayıları çift yaylı Q harfiyle gösteririz: ℚ. Harf, İngilizce “quotient” (bölüm) sözcüğünden gelir; bu sözcük bölme işleminin sonucunu ifade eder.

Rasyonel sayılar, bir bütünün parçasını belirtmek için kullanılır. Örneğin “yarım” ya da “onda bir” gibi. Bunlar, rasyonel sayılarda 1/2 ve 1/10 bölümü olarak gösterilebilen, bütünün parçalarıdır. Bu durumlarda payda bütünü, pay ise bütünün parçasını belirtir. Pay paydaya eşitse tam bir bütünümüz var demektir. Bu oranlar genellikle yüzdeye çevrilir.

Özellikler

1. Rasyonel sayılar sonsuz sayılabilir bir küme oluşturur.

• Rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalıdır. Yani iki rasyonel sayıyı bölersek yine bir rasyonel sayı elde ederiz. Bu, bölme işlemine göre kapalı olmayan tam sayılara göre bir farktır.
• Rasyonel sayılar bütün tam sayıları içerir. Bütün rasyonel sayılar a/b kesriyle yazılabiliyorsa, b = 1 almamız yeter; a/1 = a bölümünde her zaman payın değerini geri elde ederiz.
• a < b olan iki rasyonel sayı a ve b alırsak, her zaman a < q < b koşulunu sağlayan başka bir rasyonel sayı q buluruz. Başka bir deyişle, herhangi iki rasyonel sayı arasında her zaman bir rasyonel sayı daha bulabiliriz. Daha güçlü bir sürümü de doğrudur: herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı vardır.
• Bir önceki özelliğin sonucu olarak en küçük pozitif (ya da en büyük negatif) rasyonel sayı yoktur. Bunu göstermek için çelişki ile ispat yöntemini (olmayana ergi) kullanabiliriz. m en küçük pozitif rasyonel sayı olsun. O zaman bundan daha küçük bir pozitif rasyonel sayı bulamamamız gerekir. Oysa önceki özelliğe göre 0 < m olduğundan 0 < s < m koşulunu sağlayan bir rasyonel sayı s vardır. Sıfırdan büyük (pozitif) ve m sayısından küçük bir s sayısı bulduk. Bu da m sayısının en küçük pozitif rasyonel sayı olmasıyla çelişir.

Rasyonel Sayılarla İşlemler

Bütün temel işlemler kesirler yazısında anlatılmıştır.

Devirli Sayıyı Kesre Çevirme

Devirli sayı aynı zamanda rasyonel sayı olduğuna göre kesre çevrilebilmesi gerekir. Bunun nasıl yapıldığını gösterelim. Başlangıçta devirli bir sayımız olsun: a = 0,333… Şöyle yazarız:

$$a=0,\bar{3}$$

Şimdi alışılmış denk işlemlerle denklemin her iki tarafını 10 ile çarpalım:

$$10a=3,\bar{3}$$

Sağ tarafta 3 birler basamağına geçti, virgülden sonra ise hâlâ sonsuz tane 3 kaldı. Şimdi denklemden a değerini, yani 0,333… sayısını çıkaralım; böylece sonsuz açılımdan kurtuluruz.

$$9a=3$$

Bu adım biraz karışık olmuş olabilir, o yüzden ayrıntılı yazayım. Şu işlemi yaptık:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

9a = 3 eşitliğini 9’a bölmemiz yeter ve sonucu buluruz:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Bir örnek daha çözelim:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\overline{45}$$

İşlem biraz farklı olacak. Önceki örnekte devrin uzunluğu bir idi. Daha doğrusu devir istediğimiz kadar uzun olabilirdi, çünkü aynı sayılar tekrar edip duruyordu, ama onu bir uzunlukta almamız işimize geliyordu. Şimdi devrin uzunluğu iki. Yine devri altı uzunlukta alabilirdik, ama işimize yaramaz. Devrin tamamını çıkarabilmek için bu sefer 100 ile çarpmamız gerekir:

$$100a=145,\overline{45}$$

Bir a çıkaralım:

$$99a=144$$

Ve 99’a bölelim:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Hesap makinesinde bu sayıları bölmeyi denersen tam olarak 1,454545… sonucunu bulursun. Ancak çoğu hesap makinesi yuvarlama yapar, bu yüzden sana biraz farklı bir sonuç gösterebilir.

0,9999… ile İlgili İlginç Bir Durum

İlginç bir örnek olarak şu devirli sayıyı kesre çevirelim:

$$a=0,\bar{9}$$

10 ile çarpalım:

$$10a=9,\bar{9}$$

a değerini çıkaralım:

$$9a=9$$

9’a bölelim:

$$a=1$$

1’i bulduk; yani 0,999… sayısı 1 sayısına eşittir.

Bağlantılar

• Vikipedi