Küme Teorisinin Paradoksları

Naif küme teorisi, daha ayrıntılı bir küme teorisinin geliştirilmesine yol açan bazı ilginç paradokslar içerir. Bu paradokslar çoğunlukla şu gerçeğe dayanır: klasik, naif küme teorisinde bir kümenin kendisini eleman olarak içermesi mümkündür.

Russell Paradoksu

En bilinen paradokslardan biri Russell paradoksudur. Onu şöyle tanımlayabiliriz: kendisini eleman olarak içermeyen kümeleri ve yalnızca onları içeren bir N kümesi olsun. Yani bir küme kendisini eleman olarak içeriyorsa N kümesine ait değildir. Kendisini içermiyorsa N kümesine aittir.

Soru şu: N kümesi, kendisini, yani N kümesini eleman olarak içeriyor mu?

Durumları inceleyince şunu görürüz: N kümesi N kümesini içermiyorsa kendisini içermeyen bir kümedir ve N kümesinde yer alması gerekir, yani N ∈ N olmalıdır.

Ama N kümesi N elemanını içeriyorsa N ∈ N olmamalıdır; çünkü N kümesi yalnızca kendisini eleman olarak içermeyen kümeleri içerir.

Paradoks şudur: koşullardan birini mutlaka bozarız. N ∈ N ise bu, N kümesinin tanımıyla çelişir (N yalnızca kendisini içermeyen kümeleri içerir, burada ise N kendisini eleman olarak içeriyor). N ∈ N değilse yine N kümesinin tanımını bozarız.

Yani böyle bir kümeyi oluşturamayız. Doğru bir küme teorisinde bunun olmaması gerekirdi.

Russell paradoksunun birkaç doğal yorumu da vardır. Örneğin berber paradoksu. Kasabada, kendini tıraş etmeyen herkesi ve yalnızca onları tıraş eden bir berber var. Şu soru ortaya çıkar: berber kendini tıraş eder mi?

Cantor Paradoksu

Bir başka paradoks Cantor’unkidir. Bu paradoks şu gerçeğe dayanır: bir M kümemiz varsa onun kuvvet kümesi P(M) (M kümesinin bütün alt kümelerinin kümesi) her zaman daha yüksek kardinaliteye sahiptir, yani daha büyüktür. Sonlu kümelerde bu ilk bakışta görülür, sonsuz kümeler için de kolayca ispatlanabilir. Bu önermeye Cantor teoremi denir; kesin ifadesini ve ispatını Vikipedi sayfasında bulabilirsin.

Paradoksun kendisi öncekinden daha basittir. Bütün kümelerin kümesini düşünelim ve ona M diyelim. Yani herhangi bir N kümesi için N ∈ M olur. Ama Cantor teoremine göre P(M) kuvvet kümesinin kardinalitesi M kümesinin kardinalitesinden büyüktür. Bu, M kümesinin bütün kümeleri içermesiyle çelişir; P(M) kümesi M kümesinden büyükse M kümesinin içermediği elemanlar mutlaka içermelidir.