Asal Sayılar
Asal sayılar, yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Asal sayıların özellikleri örneğin kriptografide sık kullanılır.
Tanım ve Örnekler
Asal sayı, yalnızca 1’e ve kendisine kalansız bölünebilen pozitif tam sayıdır; 1 sayısı asal değildir. En küçük asal sayı 2’dir — 1’e ve 2’ye kalansız bölünür. Aynı zamanda çift olan tek asal sayıdır. Diğer bütün asal sayılar tektir, çünkü 2’den başka her çift sayı 1’e ve kendisine ek olarak 2’ye de bölünür.
İlk birkaç asal sayının dizisi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Asal sayılarla ilgili olarak aritmetiğin temel teoremi şunu söyler: 1’den büyük her tam sayı asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir.
Sayının asal olup olmadığını test et
Asal Sayıların Özellikleri
- Sonsuz sayıda asal sayı vardır. İspatı çelişki ile ispat yazısında bulabilirsin.
- z>1 olan her tam sayı için (z, 2z) aralığında en az bir asal sayı vardır. Örnek: z = 2 için (2, 4) aralığını elde ederiz. Bu aralıktaki tek tam sayı 3’tür ve 3 asaldır. z = 5 için (5, 10) aralığını, yani 6, 7, 8, 9 sayılarını elde ederiz. 7 sayısı asaldır. Daha büyük z değerleri için de böyledir.
- Mersenne asalı, 2’nin bir tam sayı kuvvetinin 1 eksiği olan asal sayıdır. Dolayısıyla Mersenne asalı M, M = 2z − 1 biçimindedir; burada z bir pozitif tam sayıdır. Örneğin 3 asal sayısı böyledir, çünkü 22 − 1 = 3. Ya da 7, çünkü 23 − 1 = 7.
- Bilinen en büyük asal sayılar çoğunlukla Mersenne asallarıdır. Örneğin 23 Ağustos 2008’de M43112609 Mersenne asalı bulundu; alt indis z üssünü gösterir. Yani bu, 12.978.189 basamaklı 243112609 − 1 asal sayısıdır ve o dönemde bilinen en büyük asal sayıydı.
Asal Sayı İçermeyen Dizi
Aralarında hiç asal sayı bulunmayan, istediğimiz kadar uzun sonlu bir ardışık pozitif tam sayı dizisi bulunabilir. Böyle bir dizi k!+2, k!+3, …, k!+k biçiminde olabilir ve k − 1 tane ardışık bileşik sayı içerir (ünlem işareti faktöriyeldir).
Örneğin k = 6 için şu biçimde beş ardışık bileşik sayı elde ederiz: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Bu sayılar sırasıyla 2’ye, 3’e, 4’e, 5’e ve 6’ya bölünür, çünkü 6! = 720 sayısı bunların çarpımından oluştuğu için hepsine kesinlikle bölünür: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. 720 sayısı 3’e bölünüyorsa 720 + 3 sayısı da 3’e bölünmek zorundadır. Diğerleri için de aynıdır.
Fermat’nın Küçük Teoremi
Her p asal sayısı ve her z tam sayısı için zp − z sayısı p asal sayısına bölünür.
Örnek: p = 3 asal sayısını ve z = 4 tam sayısını alalım. 43 − 4 değerini hesaplarız. Bu 60’a eşittir. Üstelik 60/3 = 20 olduğundan 3 sayısı 60’ı kalansız böler; bu da Fermat teoremiyle uyumludur. Başka bir örnek: p = 7, z = 10. Ara sonucu hesaplarız: 107 − 10 = 9999990 ve bu sayıyı 7’ye böleriz: 9999990/7 = 1428570. Yine kalansız bir sonuç elde ettik.
Çözülmemiş Sorular
Asal sayılarla ilgili birçok ünlü hipotez vardır ve bunlar henüz (2011) ne ispatlanabilmiş ne de çürütülebilmiştir. En ünlü iki tanesi şunlardır:
- İkiz asalların sonsuzluğu: İkiz asal, iki sayısı da asal olan (z, z + 2) sayı çiftidir. Örneğin (3, 5) ya da (29, 31). Soru, bu tür ikiz asal çiftlerinin sonsuz sayıda olup olmadığıdır. Olduğu tahmin ediliyor ama ispat eksik.
- Riemann hipotezi: Riemann zeta fonksiyonunun aşikâr olmayan bütün sıfırlarının gerçek kısmı
