Değişme Özelliği

Değişme özelliği, örneğin toplama gibi işlemlerin bir özelliğidir. Toplamada sıranın önemli olmadığını fark edebiliriz, yani 3 + 5 ile 5 + 3 aynıdır. Hangi iki gerçek sayıyı toplarsak toplayalım a + b, toplanan sayıların yerini değiştirsek bile sonuç aynı olur: b + a. Bir işlem bu koşulu sağlıyorsa onun değişmeli olduğunu söyleriz.

Değişmeli olan bir başka işlem çarpmadır, çünkü 2 · 6 ile 6 · 2 aynı sonucu verir ve aynısı herhangi iki a, b sayısı için de geçerlidir:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Değişmeli olmayan bir işleme örnek çıkarmadır, çünkü 7 − 4 ile 4 − 7 farklı şeylerdir. İlk durumda 3 sonucunu, ikinci durumda −3 sonucunu buluruz. Bir başka örnek bölmedir, çünkü 2 / 5 ile 5 / 2 farklı şeylerdir.

Ama işlemlerin diğer özelliklerine dikkat et, örneğin çarpmanın önceliğine. 1 + 2 · 3 ifadesi varsa bunun 2 + 1 · 3 ile aynı olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü çarpma, toplamadan önce yapılır. Parantezlerle kendimize yardımcı olabiliriz: 1 + 2 · 3 ifadesi 1 + (2 · 3) ile aynıdır. Toplamanın değişme özelliğini uygulamak istersek uygulayabiliriz, ama parantezi bütünüyle birlikte taşımamız gerekir: 1 + (2 · 3) ifadesi (2 · 3) + 1’e eşittir, bu da çarpmanın değişme özelliğini de uygularsak (3 · 2) + 1’e eşittir.

Küme İşlemleri ve Değişme Özelliği

Değişmeli olan yalnızca sayılarla yapılan işlemler değil, örneğin kümelerle yapılan işlemler de olabilir. Örneğin A ve B kümelerinin kesişimi değişmeli bir işlemdir. İki kümenin kesişimi “her iki kümede de bulunan elemanlardır”, yani

$$A\cap B=B\cap A$$

A ve B kümelerinin birleşimi için de tamamen aynı şekilde olur; sonucu “kümelerden en az birinde bulunan elemanlardır” ve dolayısıyla:

$$A\cup B=B\cup A$$

Örneğin iki kümenin farkı değişmeli değildir.

Vektörler

Diğer değişmeli işlemlerden birini vektörlerle yapılan işlemler arasında bulabiliriz; bu, vektörlerin toplanmasıdır — genel olarak toplama çoğunlukla değişmeli bir işlemdir. Bu durumda $\overrightarrow{u}$ ve $\overrightarrow{v}$ gibi iki vektörümüz varsa şu geçerlidir:

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Bunu aşağıdaki şekil görsel olarak gösteriyor:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ toplamını “üst yol” gösterir; önce kırmızı $\overrightarrow{u}$ vektörünü, sonra mavi $\overrightarrow{v}$ vektörünü uygularız. $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ toplamını “alt yol” gösterir; önce mavi $\overrightarrow{v}$ vektörünün yolundan gideriz, sonra kırmızı $\overrightarrow{u}$ vektörünün. Sonuç yine de aynıdır, vektörler aynı noktada biter.

Bunu şöyle düşünebilirsin: bir yerden yola çıkıp elli metre kuzeye, sonra yirmi metre batıya gidiyorsun. Önce yirmi metre batıya, sonra elli metre kuzeye gitseydin aynı yerde olurdun. Yani bu şekilde yürümek değişmelidir.

Mantık

Mantık bağlaçlarından “ve” ile “veya” da değişmeli işlemlerdendir. Bu, “5 sayısı tek ve asal sayıdır” önermesinin doğruluğunun, “5 sayısı asal ve tek sayıdır” önermesinin doğruluğuyla aynı olduğu anlamına gelir. “Veya” bağlacı için de benzer şekilde: “6 sayısı asal veya çifttir” önermesinin doğruluğu, “6 sayısı çift veya asal sayıdır” önermesinin doğruluğuyla aynıdır.

Ama koşullu önerme değişmeli değildir; yani “yağmur yağarsa yerler ıslanır” önermesi, “yerler ıslanırsa yağmur yağmıştır” ile aynı şey değildir.