Birleşim, Kesişim, Fark ve Tümleyen

Kümeler arasında çeşitli küme işlemleri yapabiliriz. En temelleri birleşim, kesişim, fark ve tümleyendir.

Kümelerin Birleşimi

Kümelerin birleşimini ∪ simgesiyle gösteririz; yani A ve B kümelerinin birleşimini her zamanki gibi A ∪ B yazarız. A ve B kümelerinin birleşiminden, A kümesinin bütün elemanlarını ve B kümesinin bütün elemanlarını içeren yeni bir küme oluşur. Tanım:

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$$

Örnek: A = {1, 3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6} olmak üzere iki küme olsun. Birleşimlerinden şu küme oluşur: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Elde edilen küme, her iki kümenin elemanlarını içerir.

Bir örnek daha: A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4}. Birleşimlerini alırsak A ∪ B = {1, 2, 3, 4} elde ederiz. 2 ve 3 elemanları sonuç kümesinde iki kez bulunmaz, çünkü küme bir elemanı birden fazla kez içermez.

Diğer özellikler:

• A ∪ A = A: iki aynı kümenin birleşimini alırsak yine aynı kümeyi elde ederiz.
• A ∪ B = B ∪ A: birleşimde değişme özelliği vardır, sıra önemli değildir.
• A ∪ ∅ = A: boş küme hiç eleman içermez, yani birleştirecek bir şey yoktur.

Kümelerin Kesişimi

A ve B gibi iki kümenin kesişiminden, bu iki kümenin ortak olarak sahip olduğu elemanları içeren yeni bir küme oluşur. Daha doğru söylersek, yeni küme hem A kümesine hem B kümesine ait olan elemanları içerir. Kesişimi ∩ simgesiyle gösteririz. Tanım:

$$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$$

Örnek: A = {1, 3, 5, 7, 9} ve B = {4, 5, 6, 7}. Kesişim A ∩ B = {5, 7} kümesine eşittir. Bir örnek daha: A = {a, b, c, d, e} ve B = {f, g, h, i, j}. Kesişim şuna eşittir: A ∩ B = ∅. Bu kümelerin hiç ortak elemanı yoktur, yani kesişimleri boş kümedir.

Diğer özellikler:

• A ∩ A = A: iki aynı kümenin kesişimi yine aynı kümedir.
• A ∩ B = B ∩ A: kesişimde değişme özelliği vardır, sıra önemli değildir.
• A ∩ ∅ = ∅: boş küme hiç eleman içermez, yani A kümesiyle kesinlikle ortak bir elemanı yoktur.

Kümelerin Farkı

Kümelerin farkını standart eksi simgesiyle − gösteririz (bazı kaynaklarda eğik eksi ∖ da kullanılır). A ve B kümelerinin farkı, A kümesinin bütün elemanlarını içeren ve B kümesinden hiçbir eleman içermeyen kümedir. Kısaca, birinci kümenin ikinci kümeyle ortak olan elemanlarına bakar ve onları çıkarırsın. Tanım:

$$A-B=\{x\in A\mid x\notin B\}$$

Örnek: A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {4, 5, 6, 7, 8}. Fark şuna eşit olur: A − B = {1, 2, 3}. Bunlar, A kümesinden B kümesindeki bütün elemanları çıkardığımızda geriye kalan elemanlardır. Bir örnek daha: A = {a, b, d, e}. Fark A − A = ∅.

Diğer özellikler:

• A − A = ∅: iki aynı sayıyı birbirinden çıkarınca sıfır elde etmemize benzer (örneğin 5 − 5 = 0), iki aynı kümeyi birbirinden çıkarınca boş küme elde ederiz.
• A − ∅ = A: boş küme hiç eleman içermez, yani A kümesinden çıkarabileceğimiz bir eleman yoktur.

Kümenin Tümleyeni

A kümesinin tümleyeni türlü biçimlerde gösterilir, ancak en sık kesme işaretiyle A' veya üst çizgiyle $\bar{A}$ yazılır. Kolaylık olsun diye kesme işaretini kullanacağım. A kümesinin tümleyenini hesaplamak için tümleyeni hangi kümede hesapladığımızı bilmemiz gerekir. Çünkü kümenin tümleyeni, A kümesinde olmayan bütün elemanlardır; yani A kümesinin bir tür tersidir.

Ana küme (evrensel küme) olarak M = {1, 2, 3, …, 9, 10} kümesine sahipsek, A = {2, 4, 6, 8, 10} kümesinin M içindeki tümleyeni A' = {1, 3, 5, 7, 9} kümesidir. M kümesinin A kümesinde olmayan bütün elemanlarını içerir. A' kümesinin (M içinde) M − A kümesine eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Ana küme olarak tam sayıları alırsak, çift sayılar kümesinin tümleyeni tek sayılar olur. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin tümleyeni A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …} kümesi olur.

Tümleyeni iki kez uygularsak başlangıçtaki kümeyi geri elde ederiz. Örneğin tam sayılarda: çift sayıların tümleyeni tek sayılardır. Tek sayıların tümleyeni de yine çift sayılardır. Yani A = A'' (A kümesinin tümleyeninin tümleyeni) geçerlidir.