Aritmetiğin Temel Teoremi

Aritmetiğin temel teoremi bize şunu söyler: 1’den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek türlü yazılabilir. Örneğin 15 sayısını iki asal sayının çarpımı olarak 3 · 5 biçiminde, 30 sayısını üç asal sayının çarpımı olarak 2 · 3 · 5 biçiminde, 16 sayısını da dört asal sayının çarpımı olarak 2 · 2 · 2 · 2 biçiminde yazabiliriz. Böyle bir çarpıma asal çarpanlara ayırma denir. Yani 10 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hâli 2 · 5’tir.

Asal çarpanlara ayrılması en basit olan sayılar asal sayıların kendisidir, çünkü onları daha fazla ayırmamız gerekmez. 7 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hâli yalnızca 7’dir.

Asal çarpanlara ayırmayı hesapla

Aritmetiğin Temel Teoremi Ne Söyler

Yani aritmetiğin temel teoremi bize iki şey söyler:

• 1’den büyük her doğal sayı için asal çarpanlara ayırmayı bulabiliriz,
• her sayının tek bir asal çarpanlara ayırması vardır.

Şimdi bunun gerçekten böyle olduğunu ispatlayalım.

Varlığın İspatı

Önce 1’den büyük her doğal sayı için en az bir asal çarpanlara ayırmanın gerçekten var olduğunu ispatlayacağız. Bunun için matematiksel tümevarımı kullanacağız. Tümevarımın başlangıç adımı şu olacak: 1’den büyük en küçük doğal sayı, yani 2, asal sayıdır.

Şimdi şunu gösterelim: 2, …, n dizisindeki sayıların hepsi için asal çarpanlara ayırma bulunabiliyorsa, bu diziye n + 1 sayısını eklediğimizde bu yeni sayı için de asal çarpanlara ayırma vardır. Önce bunu bir örnek üzerinde görelim.

Başlangıçta 2, …, n dizimiz biraz tuhaf, çünkü yalnızca tek bir sayı içeriyor: 2. Bu diziye n + 1 sayısını, yani 3 sayısını eklediğimizde bu sayı için de asal çarpanlara ayırma olacağını söylüyoruz. 3 asal sayı olduğu için ona ait asal çarpanlara ayırma elbette vardır — o da 3’tür.

Dizimiz 2, …, n şimdi iki terimli: 2, 3. Diziye 4 sayısını ekleyelim. 4 asal sayı değildir, o hâlde 1’den büyük ve 4’ten küçük iki başka doğal sayının çarpımı olarak yazılabilmelidir. Ama böyle sayıların hepsi zaten dizimizin içinde! Bu dizide de yalnızca asal çarpanlara ayrılabilen sayılar var! Demek ki 4 sayısının da asal çarpanlara ayırması olmalı: 2 · 2.

Genel ispata dönersek, 2 asal sayıdır ve dolayısıyla asal çarpanlara ayırması vardır. Şimdi 2, …, n dizisindeki her sayının asal çarpanlara ayrılabildiğini varsayalım — bu bizim tümevarım hipotezimizdir. O hâlde n + 1 sayısı ya asal sayıdır ve bu yüzden kendiliğinden asal çarpanlara ayrılmıştır, ya da bileşik sayıdır. Bileşik ise öyle a, b sayıları olmalıdır ki

$$n+1=a\cdot b$$

Bu doğal sayıların elbette n + 1’den küçük ve 1’den büyük olması gerekir:

$$\begin{array}{rcl}a>1,& & a<n+1\\ b>1,& & b<n+1\end{array}$$

Demek ki a, b sayıları 2, …, n dizisinin içindedir. Bu dizideki her sayının asal çarpanlara ayırması vardır (tümevarım hipotezimiz bu), yani şunu yazabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}a& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ b& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Burada bütün p_i ve q_j sayıları asaldır; p₁ · p₂ · … · p_i ve q₁ · q₂ · … · q_j çarpımları da onların asal çarpanlara ayırmalarıdır. n + 1 sayısının n + 1 = a · b çarpımı olarak yazılabildiğini söylediğimize göre aynı zamanda şu da geçerlidir:

$$\begin{array}{rcl}n+1& =& a\cdot b\\ & =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\cdot q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Yani n + 1 sayısı, p₁ · p₂ · … · p_i · q₁ · q₂ · … · q_j asal sayı çarpımı olarak yazılabilir; böylece yeni eklenen n + 1 sayısının da asal çarpanlara ayırması vardır. Buradan, 1’den büyük her doğal sayının en az bir asal çarpanlara ayırması olduğu sonucu çıkar.

Tekliğin İspatı

Şimdi 1’den büyük her doğal sayı için birden fazla asal çarpanlara ayırma bulunmadığını gösterelim. Bu teoremi çelişki ile ispat yöntemiyle ispatlayacağız. Teoremin doğru olmadığını varsayacağız; yani 1’den büyük öyle bir n doğal sayısı olduğunu varsayacağız ki bu sayının iki farklı asal çarpanlara ayırması olsun:

$$\begin{array}{rcl}n& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ n& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Ayrıca birden fazla asal çarpanlara ayırması olan sayılar arasında n sayısının en küçük olduğunu varsayalım. Yani birden fazla asal çarpanlara ayırması olan daha küçük bir doğal sayı yoktur. q₁ sayısı n sayısını bölen asal sayılardan biri olduğuna göre elbette q₁ aynı zamanda p₁ · p₂ · … · p_i çarpımını da böler.

Şimdi Öklid önsavını kullanmamız gerekir. Bu önsav şunu söyler: Bir p asal sayısı iki tam sayının çarpımı olan a · b sayısını bölüyorsa, p asal sayısı a ve b sayılarından en az birini de böler. Örnek verelim: 3 asal sayısı 84 sayısını böler. 84 sayısını 12 · 7 çarpımı olarak yazabiliriz. Öklid önsavı, 3 asal sayısının 12 ve 7 sayılarından en az birini böldüğünü söyler — bu örnekte 12 sayısını böler.

Bu önsavı kullanarak şunu söyleyebiliriz: q₁ sayısı p₁ · p₂ · … · p_i çarpımını bölüyorsa, p₁, p₂, …, p_i sayılarından en az birini de bölmelidir. Genelliği bozmadan q₁ sayısının p₁ sayısını böldüğünü varsayabiliriz. Ama p₁ de asal sayıdır. Bir asal sayı başka bir asal sayıyı ne zaman bölebilir? Örneğin 7 asal sayısına bölünebilen asal sayı hangisidir? Yine yalnızca 7 asal sayısı. Başka bir asal sayıyı bölemez, çünkü bölseydi o sayı asal olmazdı. O hâlde p₁ = q₁ olmalıdır.

Bu, iki asal çarpanlara ayırmada da aynı olan bir asal sayı bulunduğu anlamına gelir: p₁ asal sayısı, yani q₁. İki asal çarpan denkleminin iki tarafını da sırasıyla p₁ ve q₁ sayılarına bölelim:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n}{p_1}& =& \frac{p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i}{p_1}\\ \frac{n}{q_1}& =& \frac{q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j}{q_1}\end{array}$$

p₁ = q₁ olduğu için sol tarafta aynı sayıyı elde ederiz; ona örneğin m diyelim. Yani şu geçerlidir:

$$m=\frac{n}{p_1}=\frac{n}{q_1}$$

Sağ tarafta kesirleri sadeleştirmemiz yeterlidir:

$$\begin{array}{rcl}m& =& p_2\cdot p_3\cdot \dots \cdot p_i\\ m& =& q_2\cdot q_3\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

m sayısı kesinlikle bir doğal sayıdır ve n sayısından küçüktür, çünkü m sayısını n sayısını asal çarpanlarından birine bölerek elde ettik. Eşitliklerin sağ tarafında ise her iki durumda da m sayısının asal çarpanlara ayırması var. Yani n sayısından küçük olan ve onun gibi iki farklı asal çarpanlara ayırması bulunan başka bir m sayısı oluşturmayı başardık. Bu ise n sayısının birden fazla asal çarpanlara ayırması olan en küçük sayı olduğu varsayımımızla çelişir.

Tek açıklama şudur: “birden fazla asal çarpanlara ayırması olan en küçük sayı” diye bir sayı yoktur. “Birden fazla asal çarpanlara ayırması olan en küçük sayı” olmaması da birden fazla asal çarpanlara ayırması olan hiçbir sayı olmadığı anlamına gelir — yani 1’den büyük her tam sayının tam olarak bir tane asal çarpanlara ayırması vardır.