Sonsuzluk

Sonsuzluk soyut bir kavramdır ve aslında gözümüzde canlandırmamız bile mümkün değildir. Sonsuzun kendisinin bir sonu yoktur, adı da buradan gelir; ama genel anlamda sonsuzun bir başlangıcı da yoktur (yine de onu daha ayrıntılı tanımlayabiliriz, örneğin ışın da sonsuzdur ama bir başlangıcı vardır). Sonsuz genellikle “yatık sekiz” denen işaretle yazılır: ∞.

Sonsuzlarla Hesaplıyoruz

Sonsuz, kısmen sıfıra benzer; sıfır da pek çok bakımdan özeldir ve ona özel kurallar uygulanır. Örneğin sıfıra bölemezsin; bunu herhalde her küçük çocuk bilir (bu arada şu fıkrayı biliyor musun? Matematik ödevini yapmadığında en iyi mazeret nedir? “Öğretmenim, yanlışlıkla sıfıra bölmeye başladım ve defterim yandı…” ;o)).

Sıfırla çarpılan her şey sıfır olduğu gibi, sonsuzla çarpılan ya da sonsuza eklenen her şeyin sonucu da sonsuzdur. Sonsuzdan istediğin kadar büyük bir sayıyı çıkarsan yine sonsuz kalır. Sonsuzu bölmeye çalışsan da aynı şey olur. Sonsuz kısacası o kadar büyüktür ki ondan her saniye milyonlarca çıkarsan bile sana hep sonsuz kalır. Bazen bunu anlamak biraz zordur; örneğin şu eşitliğe bakalım: ∞ + 1 = ∞. Doğru mu, değil mi?

Mantık bize eşitliğin sol tarafının daha büyük olduğunu söyler; sonsuza bir eklersem bütün ifade yalnızca sonsuzdan büyük olmalı. Olmak zorunda değil :-). Daha önce de söylediğim gibi, sonsuz artı herhangi bir şey sonsuzdur. Yani sonsuz artı bir sonsuzdur ve sonsuz sonsuza eşittir. Eşitlik doğrudur.

Başka bir yol da limitlerden geçer. Şimdi 1/x kesrini alalım ve x→0⁺ için sağdan limiti hesaplayalım; defterimizin yanmadığını varsayalım. Bu limit sonsuza eşit olur. Bu ifadeye bir eklersen (1+x)/x ifadesini elde edersin ve x→0⁺ için limit yine sonsuz olur.

Sonsuzları daha çok birleştirmeye başlayınca eğlence başlar. Örneğin sonsuz eksi sonsuz neye eşittir? Mantık, birbirinden iki eşit büyüklükte sayıyı çıkardığımızı söyler, yani sonuç sıfır olmalı. Ayrıca sonsuzdan herhangi bir sayıyı çıkarırsak sonucun yine sonsuz olduğunu söylemiştim. Buna karşılık herhangi bir sayıdan sonsuzu çıkarırsak eksi sonsuz çıkar. Peki şimdi bundan nasıl kurtulacağız? Bütün sonuçlar kuramsal olarak mümkündür. Matematik, ∞ −∞ ifadesinin belirli bir şeye eşit olmadığını, bunun tanımsız/belirsiz bir ifade olduğunu söyler. Sıfıra bölmeye çalışmana benzer bir örnektir; hiçbir anlamı yoktur. Böyle bir belirsiz ifadeyle karşılaşırsan ifadeyi bir şekilde düzenlemen gerekir (bazı belirsizlik türlerinde örneğin L’Hospital kuralı [“lopital kuralı” diye okunur] kullanılabilir).

Diğer tanımsız/belirsiz ifadeler:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Bu arada işaretlerle ilgili temel işlemler geçerlidir; örneğin −1 · ∞ eksi sonsuza eşittir.

Aklını Mı Kaçırmak İstiyorsun?

O zaman küme teorisine dal ve hangi kümenin daha büyük olduğunu hesapla. Örneğin çift sayılar mı daha büyüktür, tek sayılar mı? Çift sayılar mı, doğal sayılar mı? Doğal sayılar mı, tam sayılar mı? Çift sayılar mı, tam sayılar mı? Doğal sayılar mı, rasyonel sayılar mı? Cevap şu: hepsi aynı büyüklüktedir. Tuhaf görünse de (tam sayılar tek sayılardan elbette daha fazla olmalı) bunlar aynı büyüklükte kümelerdir. Buna karşılık gerçek sayılar kümesi bahsedilen kümelerden daha büyüktür. Bu işin içinden kim çıkabilir, bilemiyorum ;-)