Ділення многочлена на многочлен

Ділення многочленів — нетривіальна операція, яку досить часто використовують під час перетворення та спрощення многочленів.

Перший приклад

Ділення поліномів — річ досить складна, принаймні порівняно з попередніми діями. Проте порядок дій під час ділення многочленів дуже схожий на звичайне ділення стовпчиком. Увесь алгоритм покажемо на прикладах. Почнімо з простого, наприклад:

$$(4x^3+8x^2):(2x^2)$$

Припускаємо, що обидва поліноми впорядковані за спаданням степенів і належно спрощені, тобто що можна було додати, те ми додали. Для алгоритму це не суттєво, але полегшує обчислення. На першому кроці ділимо перший член першого многочлена на перший член другого многочлена (тут у другого многочлена лише один член, тож перший член другого многочлена водночас дорівнює всьому другому многочлену). Тобто виконуємо дію

$$4x^3 :, (2x^2) = \frac42x^{3-2}=2x$$

Ділення таких простих членів — дія, обернена до множення, нічого несподіваного тут немає. Оскільки це перший крок, запишемо результат у початковий вираз, який хочемо обчислити

$$(4x^3+8x^2):(2x^2)=2x$$

і продовжимо другим кроком. Помножимо наш тимчасовий результат на другий многочлен, тобто на многочлен, на який ділимо.

$$2x\cdot(2x^2)=4x^3$$

Цей результат віднімемо від усього першого полінома. Запишемо це під першим поліномом приблизно так:

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&:(2x^2)=2x\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2 \end{eqnarray}$$

Тепер під рискою в нас залишився результат, і до нього застосовуємо ту саму процедуру, що й до початкового многочлена. Ділимо його на перший член другого многочлена.

$$8x^2:(2x^2)=4$$

Цей результат додаємо до попереднього тимчасового розв'язку:

$$(4x^3+8x^2):(2x^2)=2x+4$$

І знову множимо весь другий многочлен на чотири

$$(2x^2)\cdot4=8x^2$$

і віднімаємо від того, що залишилося під рискою.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2)&:(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2\\ \underline{-(8x^2)}\\ 0 \end{eqnarray}$$

Після віднімання залишається нуль, на цьому алгоритм закінчується. Праворуч маємо результат ділення. Щоб зробити перевірку, помножимо отриманий многочлен на другий многочлен — і маємо отримати перший поліном.

$$(2x^2)\cdot(2x+4)=4x^3+8x^2$$

Другий приклад

Трохи змінимо попереднє завдання й спробуємо обчислити

$$(4x^3+8x^2+7):(2x^2).$$

Обчислення весь час відбуватиметься так само, як у попередньому прикладі, лише після віднімання результат щоразу буде на сімку більший. Отже, коротко обчислення виглядало б так:

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&:(2x^2)=2x+4\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$

Порядок дій не змінився, лише додалася сімка. На цьому кроці ми вже не можемо гарно поділити нову різницю (ту сімку) на другий поліном. Результат просто запишемо як дріб: сім, поділене на даний многочлен, і додамо до проміжного результату.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&:(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7 \end{eqnarray}$$

Під час зворотного множення на другий многочлен отримаємо сімку

$$(2x^2)\cdot\frac{7}{2x^2}=7$$

і тому після віднімання маємо нуль.

$$\begin{eqnarray} (4x^3+8x^2+7)&:(2x^2)=2x+4+\frac{7}{2x^2}\\ \underline{-(4x^3)}\\ 8x^2+7\\ \underline{-(8x^2)}\\ 7\\ \underline{-7}\\ 0 \end{eqnarray}$$

Алгоритм тут закінчується, ми дійшли до нуля.

Третій приклад

Доповнимо другий поліном ще одним членом.

$$(6x^7+19x^4+7):(3x^3+5)$$

На першому кроці ділимо перший член першого многочлена на перший член другого, так само, як у попередніх прикладах.

$$6x^7:3x^3=2x^4$$

На наступному кроці множимо цей проміжний результат на весь другий многочлен і віднімаємо від першого.

$$(3x^3+5)\cdot2x^4=6x^7+10x^4$$

Запишемо це наочно під усім прикладом.

$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&:(3x^3+5)=2x^4\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7 \end{eqnarray}$$

Продовжуємо: ділимо перший член новоутвореного многочлена на перший член другого многочлена.

$$9x^4:3x^3=3x$$

Множимо на весь другий поліном:

$$(3x^3+5)\cdot3x=9x^4+15x$$

Записуємо й віднімаємо:

$$\begin{eqnarray} (6x^7+19x^4+7)&:(3x^3+5)=2x^4+3x\\ \underline{-(6x^7+10x^4)}\\ 9x^4+7\\ \underline{-(9x^4+15x)}\\ -15x+7 \end{eqnarray}$$

Це вже не можна розумно поділити, тому просто додаємо дріб із цих двох многочленів.

$$(6x^7+19x^4+7):(3x^3+5)=2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5}$$

Якби ми ще раз виконали множення й віднімання, одразу отримали б нуль, як у попередньому прикладі. Зробімо перевірку. Перш ніж робити ґрунтовну перевірку, можна спробувати швидкий тест. Підставимо у вирази якесь просте значення, наприклад нуль. Якщо підставити нуль у результат ділення, отримаємо

$$0+0+\frac{0+7}{0+5}=\frac75.$$

Якщо підставити нуль у вирази, які ділимо, отримаємо

$$(0+0+7):(0+5)=\frac75.$$

Якщо наше перетворення правильне, обидва значення мають дати однаковий результат. Як бачимо, значення рівні. Цей спосіб, щоправда, не гарантує повної правильності, адже довелося б перевірити всі можливі значення, які можна підставити замість змінної x, зате може швидко виявити помилку. Спробуймо ще те саме з одиницею. Підставимо в результат і отримаємо:

$$2+3+\frac{-15+7}{3+5}=5-\frac88=4.$$

Підставимо в початкові вирази й отримаємо

$$(6+19+7):(3+5)=\frac{32}{8}=4.$$

Ми на правильному шляху, але для остаточного підтвердження треба виконати все множення.

$$\begin{eqnarray} (3x^3+5)\cdot(2x^4+3x+\frac{-15x+7}{3x^3+5})&=&(3x^3+5)\cdot2x^4+(3x^3+5)\cdot3x+(-15x+7)\\ &=&6x^7+10x^4+9x^4+15x-15x+7\\ &=&6x^7+19x^4+7 \end{eqnarray}$$