Розкладання многочленів на множники

Многочлен, або поліном, можна розкласти на множники-многочлени. Уявімо, що маємо поліном

$$P_n(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$

Стала n позначає степінь полінома, тобто найвищий показник степеня, який у ньому є і при якому коефіцієнт ненульовий. Наприклад, поліном x³ − 4x² − 5x мав би степінь 3. Усі інші показники або нижчі (показники 2 і 1), або при них нульовий коефіцієнт. Тепер можемо сказати: якщо знайдемо якийсь корінь k нашого полінома, то існує інший поліном Q_{n − 1}(x), степінь якого на одиницю менший, і

$$P_n(x)=(x-k)\cdot Q_{n-1}(x).$$

Звучить складно, але насправді це означає: коли ми знаємо корінь полінома P_n(x), то можемо знайти інший поліном Q_{n − 1}(x), який, помножений на вираз (x − k), дає початковий поліном P_n(x), причому степінь полінома Q_{n − 1}(x) на одиницю нижчий за степінь полінома P_n(x). Подивімося на наш поліном P₃(x) = x³ − 4x² − 5x. Бачимо, що одним із його коренів є число k₁ = 0 (бо якщо в поліном замість x підставити нуль, увесь вираз дорівнюватиме нулю). Отже, має існувати поліном Q₂(x) такий, що

$$P_3(x)=(x-0)\cdot Q_2(x)$$

Тут усе просто, бо x − 0, звісно, дорівнює x, і ми отримуємо рівняння:

$$P_3(x)=x\cdot Q_2(x)$$

З початкового полінома P₃(x) достатньо винести x за дужки, і ми отримаємо наш новий поліном Q₂(x):

$$P_3(x)=x\cdot (x^2-4x-5)$$

Це перше розкладання полінома на множники. Початковий поліном x³ − 4x² − 5x ми розклали на добуток (x − 0) і x² − 4x − 5, а це поліном нижчого степеня. Але поліном x² − 4x − 5 можна розкладати далі. Якщо розв'язати квадратне рівняння

$$x^2-4x-5=0$$

з'ясуємо, що корені цього рівняння — числа k₂ = 5 і k₃ = −1. Отже, ми мали б змогу знайти такий поліном Q₁(x), що

$$Q_2(x)=(x-5)\cdot Q_1(x)$$

Знайти поліном Q₁(x) не зовсім просто, можна скористатися, наприклад, діленням многочлена на многочлен. Так з'ясуємо, що шуканий поліном — Q₁(x) = x + 1, тож можемо записати

$$x^2-4x-5=(x-5)\cdot(x+1)$$

Увесь початковий поліном P₃(x) дорівнює:

$$P_3(x)=x\cdot(x-5)\cdot(x+1)$$

Якщо розкласти так увесь поліном, можна одразу прочитати окремі корені. Якщо будь-який із виразів у добутку дорівнює нулю, то й увесь вираз дорівнює нулю. Тому із запису очевидно, що коренями полінома є саме числа k₁ = 0, k₂ = 5 і k₃ = −1.