Дослідження функції: монотонність

Досліджуючи функцію, ми з'ясовуємо, зокрема, на яких проміжках вона зростає, а на яких спадає. У цьому нам добре допоможе похідна функції.

Як визначити монотонність функції

Кутовий коефіцієнт дотичної в точці, тобто похідна функції в цій точці, розповідає про функцію більше, ніж може здатися. Спершу погляньмо на такий рисунок:

Що тут можна помітити? Якщо функція в певній точці спадає, то спадає й дотична в цій точці (точніше, спадає функція, яка описувала б цю дотичну). Це видно на дотичній b: функція x² + 1 у точці B спадає, і дотична b теж спадає. Навпаки, дотична a зростає, і ми бачимо, що функція x² + 1 у точці A також зростає. Третя дотична c паралельна осі Ox, і в цьому місці є екстремум — а саме мінімум.

Усе це видно з першого погляду, але варто уточнити. Почнімо зі зростання й спадання. Якщо дотична до функції в точці зростає, то й функція в цій точці зростає. Коли дотична зростає? Тоді, коли кут, який вона утворює з додатним напрямом осі Ox, лежить у проміжку від 0 до 90 градусів. Дотична спадає, якщо цей кут лежить у проміжку від 90 до 180 градусів. Подивися на такий рисунок:

Кут α, безперечно, менший за 90 градусів, і дотична зростає. Кут β більший за 90 градусів, і дотична спадає. Це має бути зрозуміло. Тепер повернімося до тангенса. Нагадаємо, як його обчислюють. Для цього потрібне одиничне коло. На одиничне коло відкладаємо потрібні кути, і воно за певними правилами повертає значення тригонометричних функцій. Значення тангенса відображається як ордината точки перетину сторони кута з перпендикуляром до осі Ox, проведеним у точці (1; 0). Ось рисунок:

На рисунку зображено синє одиничне коло й дві прямі: червону a і зелену b. Ці прямі утворюють з додатним напрямом осі Ox кути α і β. З рисунка легко прочитати тангенси цих кутів: проведемо перпендикуляр p до осі Ox у точці (1; 0) — це сіра пряма. Тангенс кута α дорівнює ординаті точки перетину червоної прямої a із сірою прямою p. Інакше кажучи, тангенс кута α дорівнює довжині відрізка |BP|.

Те саме для прямої b і кута β: тангенс кута β дорівнює ординаті точки перетину прямої b з прямою p, тобто взятій зі знаком мінус довжині відрізка |CP| (бо точка C лежить під віссю Ox).

Бачиш, $\operatorname{tg}(\alpha)$ додатний, а $\operatorname{tg}(\beta)$ від'ємний. Саме це ми й шукали. Як видно з рисунка, якщо кут лежить у проміжку (0; 90), як-от кут α, то його тангенс додатний, а якщо в проміжку (90; 180), як кут β, то від'ємний.

Як тепер просто дізнатися, який кут утворює дотична в даній точці з додатним напрямом осі Ox? За допомогою похідної. Похідна функції дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в цій точці, а кутовий коефіцієнт дотичної — це якраз тангенс кута, який вона утворює з додатним напрямом осі Ox. Іншими словами, якщо в даній точці перша похідна функції додатна, то функція зростає. Якщо від'ємна — спадає.

Якщо $f^{\prime}(x) > 0$, то функція f у точці x зростає. Якщо $f^{\prime}(x) < 0$, то функція f у точці x спадає.

Приклад: знову візьмімо функцію f(x) = x². Ми знаємо, що її похідна — це функція $f^{\prime}(x)=2x$. У всіх точках, де 2x < 0, функція спадає, а в усіх, де 2x > 0, зростає. Це прості нерівності, тож отримуємо проміжки (−∞; 0), на якому функція спадає, і (0; +∞), на якому вона зростає.