Дослідження функції: екстремуми

Екстремуми функції — це точки, у яких функція набуває своїх найбільших або найменших значень.

Екстремуми функції

Розрізняємо два основні типи екстремумів — мінімум і максимум. Крім того, розрізняємо глобальний максимум/мінімум і локальний максимум/мінімум. Глобальний максимум — це точка, у якій функція має найбільше значення з-поміж усіх точок області визначення. Якщо це значення єдине, кажемо, що це строгий максимум. Адже функція може мати найбільше значення в кількох точках — так само, як, наприклад, двоє різних працівників можуть отримувати найвищу зарплату — пів мільйона гривень на місяць. Означення мінімуму й максимуму наведено в статті про функції.

Локальний мінімум і максимум означаємо лише на частині області визначення функції, зазвичай на якомусь проміжку. Означення локального максимуму й мінімуму:

• Функція f має в точці M ∈ D(f) локальний максимум, якщо існує такий окіл U = (M−ε; M+ε), де ε > 0, що для всіх x∈ U∩ D(f) виконується f(x)≤ f(M).
• Функція f має в точці m ∈ D(f) локальний мінімум, якщо існує такий окіл U = (m−ε; m+ε), де ε > 0, що для всіх x∈ U ∩ D(f) виконується f(x)≥ f(m).

Прикладом функції, яка має нескінченно багато екстремумів, є функція f(x) = x · sin x:

А чому в означенні сказано «для всіх x∈ U∩ D(f)», тобто навіщо там перетин з областю визначення? Наприклад, тому що функція, задана цим графіком…

…має в точці m = 1 мінімум, але в жодному лівому околі точки m = 1 функція не визначена, тож у цьому лівому околі не виконувалося б f(x)≥ f(m). Якщо ж додатково взяти перетин з областю визначення, отримаємо лише правий окіл.

Основний принцип пошуку екстремумів

А тепер повернімося до графіка функції f(x) = x² + 1 разом із трьома дотичними:

Зосередимося насамперед на дотичній c. Бачимо, що дотична торкається графіка в мінімумі функції x² + 1 і є горизонтальною, тобто паралельною осі Ox. Вона «утворює» з додатною піввіссю Ox кут 0 градусів. Що було б, якби ми перевернули функцію і замість мінімуму вона мала максимум? Графік функції −x² + 1:

Зверни увагу, що дотична c, яка проходить через максимум функції −x² + 1, знову паралельна осі Ox. Звідси випливає закономірність: якщо шукаємо мінімум або максимум функції, шукаємо дотичну, паралельну осі Ox, тобто таку, що тангенс кута, який вона утворює з віссю Ox, дорівнює нулю. З попереднього рисунка видно, що $\operatorname{tg}(0^{\circ})=0$. У контексті похідних це означає, що шукаємо точку, для якої її похідна дорівнює нулю: $f^{\prime}(x)=0$.

Знайдімо екстремум нашої улюбленої функції f(x) = x² + 1 за допомогою похідних. Похідна функції f дорівнює $f^{\prime}(x)=2x$. Далі шукаємо, коли перша похідна дорівнює нулю, тобто розв'язуємо рівняння $f^{\prime}(x)=0$; після підстановки 2x = 0. Це тривіально виконується для x = 0. Бачимо, що це узгоджується з тим, що функція f(x) = x² + 1 має в точці x = 0 глобальний мінімум.

Винятки з «правила»

Хотілося б сказати, що функція має в точці x екстремум тоді й лише тоді, коли похідна в цій точці дорівнює нулю. На жаль, це неправда, усе не так просто. Погляньмо на такі приклади:

• Спробуймо знайти екстремуми функції f(x) = x³. Перша похідна цієї функції — $f^{\prime}(x)=3x^2$. Розв'яжемо рівняння $f^{\prime}(x)=0$, тобто 3x² = 0. Воно, очевидно, виконується для x = 0. Але чи має функція x³ в точці x = 0 якийсь екстремум? Подивімося на графік:

  

  Бачимо, що в точці x = 0 жодного екстремуму функції немає — ні глобального, ні локального. Чому ж тоді в цій точці похідна дорівнює нулю? Тому що в цій точці дотична t просто паралельна осі Ox, див. наступний рисунок:

  

• А що скажеш про таку чудову функцію, як f(x) = |x|, тобто модуль від x? З графіка видно, що в точці x = 0 вона має глобальний мінімум:

  

  Проте ця функція в точці x = 0 не має похідної! У точці x = 0 функція не має дотичної, бо важко уявити, як би ця дотична виглядала.

Отже, виконується:

• Якщо функція f має в точці x екстремум, тобто мінімум або максимум, і якщо в цій точці існує похідна (!), то ця похідна дорівнює нулю. Може статися, що функція має в точці x екстремум і водночас у цій точці не має жодної похідної.

• Якщо функція f має в точці x нульову похідну, то в цій точці може бути екстремум, але може й не бути.

Як знайти екстремуми функції

Припустимо, що на вході маємо функцію f, яка диференційовна на всій своїй області визначення. На першому кроці диференціюємо функцію f і отримуємо функцію $f^{\prime}$. Далі прирівнюємо першу похідну до нуля, тобто розв'язуємо рівняння $f^{\prime}(x) = 0$. Розв'язки цього рівняння — це точки, «підозрілі» на екстремум, або стаціонарні точки.

Далі потрібно визначити, які із цих стаціонарних точок є екстремумами. Це можна з'ясувати, наприклад, за другою похідною функції f. Нехай s — стаціонарна точка, тобто $f^{\prime}(s)=0$. Якщо $f^{\prime\prime}(s) > 0$, то в точці s є мінімум, а якщо $f^{\prime\prime}(s) < 0$, то в точці s є максимум.

Якщо друга похідна в цій точці теж дорівнює нулю, то потрібно диференціювати далі, про це згодом. А тепер приклад. Нехай маємо функцію f(x) = 3x² + 6x. Знайди її екстремуми.

Обчислюємо першу похідну: $f^{\prime}(x)=6x+6$. Прирівнюємо першу похідну до нуля:

\begin{eqnarray} 6x+6&=&0\\ x+1&=&0\\ x&=&-1 \end{eqnarray}

Отже, точка x = −1 стаціонарна, тобто підозріла на екстремум. Обчислюємо другу похідну. Вона дорівнює функції $f^{\prime\prime}(x)=0x+6$. Після підстановки точки x = −1 отримуємо $f^{\prime\prime}(-1)=6$. Результат додатний, тож функція в цій точці має мінімум. Графік:

А якщо й друга похідна дорівнює нулю?

Спробуймо знайти екстремум функції f(x) = x⁴, графік:

Перша похідна цієї функції — $f^{\prime}(x)=4x^3$. Розв'язком рівняння $f^{\prime}(x)=0$ є, зрозуміло, єдина стаціонарна точка s = 0. Обчислюємо другу похідну, вона дорівнює $f^{\prime\prime}(x)=12x^2$. Підставляємо в цю другу похідну стаціонарну точку s і отримуємо

$$f^{\prime\prime}(0)=12\cdot0^2=0.$$

Вийшов нуль, а згідно з усім, що ми казали досі, так ми не з'ясуємо, чи є в цій точці екстремум, чи його немає. Але ми бачимо, що екстремум у точці є. Якщо виникає така ситуація, диференціюємо далі. Знаходимо третю похідну й підставляємо стаціонарну точку s. Якщо вийде ненульове число, у точці s є так звана точка перегину (про це згодом). Якщо вийде нуль, диференціюємо далі. Для четвертої похідної вирішуємо так само, як для другої: підставляємо стаціонарну точку, і додатне значення функції означає, що там мінімум, а від'ємне — що там максимум.

Третя похідна дорівнює $f^{\prime\prime\prime}(x)=24x$, після підстановки маємо $f^{\prime\prime\prime}(0) = 0$, тож диференціюємо далі. Четверта похідна має вигляд $f^{\prime\prime\prime\prime}(x)=24$. Бачимо, що четверта похідна вже завжди додатна, звідки можна — так само, як для другої похідної, — зробити висновок, що функція має в точці s = 0 мінімум. І справді має.

Підсумок порядку знаходження екстремумів функції

1. Маємо задану функцію f, яка диференційовна.

2. Диференціюємо функцію f.

3. Розв'язуємо рівняння $f^{\prime}(x)=0$. Усі s, що є розв'язками рівняння, називаємо стаціонарними точками, або точками, підозрілими на екстремум.

4. Обчислюємо другу похідну.

5. Обчислюємо значення другої похідної в усіх стаціонарних точках s. Якщо $f^{\prime\prime}(s) > 0$, функція має в точці s мінімум, якщо $f^{\prime\prime}(s) < 0$, то в точці s максимум. Якщо $f^{\prime\prime}(s)=0$, то диференціюємо далі.

   Порада: якщо тобі не хочеться запам'ятовувати, якою має бути друга похідна — додатною чи від'ємною, — щоб у точці був максимум або мінімум, просто виведи це, наприклад, з функції x². Графік цієї функції ти маєш знати, а перша й друга похідна в неї прості: $f^{\prime}(x)=2x$ і $f^{\prime\prime}(x)=2$. Друга похідна завжди додатна, і функція x² має в точці x = 0 мінімум.

6. Обчислюємо третю похідну. Якщо $f^{\prime\prime\prime}(s)\ne0$, то в точці s є точка перегину, інакше диференціюємо далі.

7. Обчислюємо четверту похідну. Якщо $f^{\prime\prime\prime\prime}(s)\ne0$, то в точці є екстремум. Інакше диференціюємо далі.

8. І так далі, і так далі. Якщо першою ненульовою похідною буде похідна непарного порядку, це точка перегину. Якщо ненульовою буде похідна парного порядку, це екстремум.