Дослідження функції: опуклість і увігнутість

Опуклість і увігнутість функції описують, у який бік «вигинається» її графік. Точки, у яких опукла (вниз) функція змінюється на увігнуту (опуклу вгору) або навпаки, називають точками перегину.

Що таке опукла й увігнута функція

За графіком часто одразу видно, чи функція опукла (вниз), чи увігнута (опукла вгору). Опукла функція виглядає як «ямка», а увігнута — як пагорб. Кажуть також, що в опуклу функцію можна налити каву. Ось три приклади вже знайомих функцій.

Як визначити, чи функція опукла, чи увігнута

Тепер потрібно з'ясувати, як визначити, чи функція на даному проміжку опукла (вниз), чи увігнута (опукла вгору). Для цього потрібен ще один рисунок:

Квадратична функція опукла (вниз) на всій області визначення. Що ти помічаєш, дивлячись на всі дотичні, які я зобразив на рисунку? Для кожної дотичної всі точки графіка квадратичної функції лежать вище за неї, крім єдиної точки, у якій дотична торкається графіка. Подібний рисунок можна накреслити для протилежної функції −x²: там ситуація обернена, і всі точки лежатимуть нижче за дотичну:

Перш ніж пояснювати далі, погляньмо на такий рисунок:

Зображена функція f(x) = x² опукла (вниз). Ми вже знаємо, що в опуклої (вниз) функції всі точки графіка лежать над дотичною. Тут це виконується: маємо дотичну t, і точки графіка лежать над нею. Тепер питання в тому, як обчислити, що ці точки лежать над дотичною.

Нехай задано точку x₀, і в точці (x₀; f(x₀)) проведено дотичну до графіка — пряму t. На рисунку точку з координатами (x₀; f(x₀)) позначено червоним кольором як T. Далі на осі Ox виберемо якусь іншу точку x. На рисунку це зелена точка. Для x має виконуватися, що точка (x; f(x)), на рисунку зелена точка F, лежить над дотичною t. Оскільки функція x² опукла (вниз) на всій області визначення, то яку б точку x ∈ D(f) ми не взяли, точка (x; f(x)) має лежати над дотичною.

Як записати це формулою? На рисунку є дотична t. Уявімо лінійну функцію t(x), графіком якої була б саме ця дотична (пряма) t. Тоді, наприклад, значення функції в точці x₀, тобто t(x₀), дорівнювало б t(x₀) = f(x₀), бо в цій точці функції рівні (їхні графіки мають у ній спільну точку).

Тепер можемо виразити це формулами. Як записати, що графік однієї функції лежить над графіком іншої? Просто так: f(x) > t(x). На рисунку в точці x дотична лежить під графіком, бо f(x) > t(x).

Оскільки функцію f ми знаємо, то знаємо й значення f(x₀) та f(x). Щоб дізнатися, чи f(x) > t(x), досить знайти довжину фіолетового відрізка AB. Як її знайти? Довжину відрізка TA ми знаємо, вона дорівнює |x − x₀|. А от довжина відрізка TB нам, на жаль, невідома. Проте якщо обчислити похідну функції в точці x₀, то отримаємо кутовий коефіцієнт дотичної, тобто тангенс кута, який дотична утворює з додатним напрямом осі Ox, причому цей кут дорівнює куту ATB, адже це відповідні кути.

Тепер ми знаємо довжину відрізка TA і величину кута ATB. Нагадаємо, що тангенс — це відношення протилежного катета до прилеглого, тому

$$ \operatorname{tg}(\angle ATB) = \frac{|AB|}{|TA|} $$

Нам відомі $\operatorname{tg}(\angle ATB)$ і |TA|, а хочемо обчислити |AB|. Виразімо |AB|:

$$ |AB| = \operatorname{tg}(\angle ATB) \cdot |TA| $$

Спершу перетворимо рівність, підставивши за довжину |TA| вираз |x − x₀|:

$$ |AB| = \operatorname{tg}(\angle ATB) \cdot |x-x_0| $$

А замість $\operatorname{tg}(\angle ATB)$ підставимо похідну функції f у точці x₀, тобто $f^{\prime}(x_0)$:

$$ |AB| = f^{\prime}(x_0) \cdot |x-x_0| $$

Так ми обчислили довжину відрізка AB. На рисунку x лежить праворуч від x₀, а дотична зростає; загалом же x може лежати й ліворуч від x₀, або дотична може спадати, тому замість довжини |x − x₀| пишемо різницю x − x₀: знак добутку $f^{\prime}(x_0) \cdot (x-x_0)$ сам вирішить, чи відрізок AB додаємо, чи віднімаємо. Тепер можемо сказати: функція f є опуклою (вниз) у точці x₀, якщо існує такий проколотий окіл O точки x₀, що для всіх x із цього околу O виконується нерівність

$$ f(x) > f(x_0) + f^{\prime}(x_0) \cdot (x-x_0). $$

Уся права частина нерівності — це, по суті, значення t(x). Якщо подивитися на рисунок, то коли до f(x₀) додати довжину відрізка AB, ми отримаємо саме t(x).

Як знайти точки перегину

Скажемо без виведення: функція f(x) є опуклою (вниз) у точці x₀, якщо $f^{\prime\prime}(x_0)>0$, і увігнутою (опуклою вгору), якщо $f^{\prime\prime}(x_0)<0$. Словами: якщо друга похідна в точці додатна, то функція в цій точці опукла (вниз).

Подібно до того, як екстремум розділяв спадну й зростаючу частини функції, точки перегину розділяють опуклі й увігнуті частини функції. Отже, точка перегину — це точка, у якій функція змінюється з опуклої (вниз) на увігнуту (опуклу вгору) або навпаки. Раніше ми казали, що навіть коли перша похідна в точці дорівнює нулю, то там не обов'язково є екстремум. Там може бути точка перегину.

Що має виконуватися для точки перегину? У цій точці опукла функція змінюється на увігнуту (або навпаки), тож у цій точці не може виконуватися ні $f^{\prime\prime}(x)>0$, ні $f^{\prime\prime}(x)<0$. Якщо функція має в точці другу похідну, то мусить бути $f^{\prime\prime}(x)=0$. Якщо $f^{\prime\prime}(x)=0$ і водночас $f^{\prime\prime\prime}(x)\ne0$, то в точці x є точка перегину. Приклад:

Знайди точки перегину функції f(x) = x³. Графік:

Обчислимо першу, другу й третю похідні:

\begin{eqnarray} f^{\prime}(x)&=&3x^2\\ f^{\prime\prime}(x)&=&6x\\ f^{\prime\prime\prime}(x)&=&6 \end{eqnarray}

Бачимо, що $f^{\prime}(x)=0$ для x = 0, так само $f^{\prime\prime}(0)=0$. Друга похідна функції в точці 0 дорівнює нулю. Водночас третя похідна додатна, тобто ненульова. Отже, функція має в точці x = 0 точку перегину. З графіка видно, що там вона змінюється з увігнутої (опуклої вгору) на опуклу (вниз).