Інтегрування частинами

Інтегрування частинами (латиною «per partes») застосовують, коли треба знайти первісну функції, яка має вигляд добутку.

Виведення формули

Виведення ґрунтується на класичній формулі похідної добутку.

$$ (u\cdot v)^{\prime} = u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime} $$

Припустімо, що функції u і v диференційовні на деякому проміжку J, тобто існують $u^{\prime}$ і $v^{\prime}$. Тепер проінтегруємо обидві частини. Отримуємо:

$$ \int (u\cdot v)^{\prime} = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$

У лівій частині можна прибрати інтеграл і похідну, бо якщо функцію продиференціювати, а потім проінтегрувати, то отримаємо початкову функцію (з точністю до сталої C).

$$ u\cdot v = \int u^{\prime}\cdot v+\int u\cdot v^{\prime} $$

Виразімо інтеграл, у якому диференціюється функція v:

$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$

Отже, функція $u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v$ є первісною функції $u\cdot v^{\prime}$. Цим ми й користуватимемося далі.

Перший приклад

На прикладі покажемо, як застосовувати метод інтегрування частинами. Обчислімо інтеграл

$$ \int x\cdot \cos x \mbox{ d}x $$

Інтеграл такого типу звичайними способами, які ми розглянули в основній статті про інтеграли, не знайти. Оскільки задана функція має вигляд добутку, скористаємося інтегруванням частинами.

У формулі

$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$

є функції u і v, і їх треба вдало вибрати. Що від нас тепер вимагається? За цією формулою ми вміємо обчислювати інтеграл $\int u\cdot v^{\prime}$. Проте в умові такого немає: там стоїть x · cos x, а ніякої похідної від v, як вимагає формула, немає. Тому треба розкласти функцію x · cos x на добуток двох функцій. Одну з них оголосимо функцією u, а другу — функцією $v^{\prime}$.

Вдалий вибір дуже важливий, бо за невдалого вибору ми радше ускладнимо розв'язання. Подивися, що отримаємо в правій частині, якщо скористаємося попередньою формулою. З виразом u · v проблем не буде, але доведеться обчислити інтеграл $\int u^{\prime} \cdot v$. Отже, функцію u ми маємо вміти диференціювати, а функцію $v^{\prime}$ — інтегрувати.

Виберемо функції так:

$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x $$

Так ми отримали ліву частину рівності, адже в інтегралі в ній стоїть саме добуток $u \cdot v^{\prime}$. У правій частині далі маємо добуток u · v і ще один інтеграл. Отже, треба обчислити $u^{\prime}$ і v. Похідна від u проста:

$$ u^{\prime} = x^{\prime} = 1 $$

Тепер із $v^{\prime}$ треба знайти v, тобто проінтегрувати $v^{\prime}$. Ще раз: ми вибрали $v^{\prime} = \cos x$. Але в правій частині рівності ми працюємо зі значенням v, без похідної. Інакше кажучи, якщо продиференціювати те v, що стоїть під знаком інтеграла в правій частині, ми маємо отримати саме вибрану нами функцію $v^{\prime}$ з лівої частини. Отже, шукаємо функцію, яка після диференціювання дорівнюватиме cos x. Іншими словами, інтегруємо $v^{\prime}$.

$$ v=\int v^{\prime}=\int \cos x = \sin x $$

Запишемо в таблицю те, що вже знаємо:

$$\begin{bmatrix} u = x,&v^{\prime}=\cos x\\ u^{\prime} = 1, &v=\sin x \end{bmatrix}$$

З цієї таблиці підставимо у формулу

$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v, $$

і отримаємо таке:

$$ \int x \cdot \cos x \mbox{ d}x = x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x \mbox{ d}x $$

Бачимо, що нам вдалося перетворити інтеграл на інший, який розв'язати вже легше. Вираз x · sin x далі не спрощуємо, лише дообчислимо інтеграл справа. Це вже простий табличний інтеграл:

$$ \int \sin x \mbox{ d}x = -\cos x + C $$

Отже, можемо записати, що

$$\begin{eqnarray} \int x \cdot \cos x \mbox{ d}x &=& x\cdot \sin x -\int 1\cdot\sin x \mbox{ d}x\\ &=& x\cdot \sin x - (-\cos x)\\ &=& x\cdot \sin x + \cos x+C \end{eqnarray}$$

Це і є результат.

Невдалий вибір функцій

Покажімо на цьому ж прикладі, що сталося б, якби ми вибрали функції u і $v^{\prime}$ інакше. Раніше ми вибрали

$$ u = x,\qquad v^{\prime} = \cos x, $$

тож тепер спробуємо навпаки:

$$ u = \cos x,\qquad v^{\prime} = x $$

Дообчислимо $u^{\prime}$ і v. Отримаємо:

$$ u^{\prime}=(\cos x)^{\prime} = -\sin x $$

Тепер проінтегруємо $v^{\prime}$:

$$ \int x \mbox{ d}x=\frac{x^2}{2}+C $$

Запишемо це в таблицю:

$$ \begin{bmatrix} u = \cos x,&v^{\prime}=x\\ u^{\prime} = -\sin x,&v=\frac{x^2}{2} \end{bmatrix} $$

Підставимо у формулу:

$$ \int x\cos x = \cos x\cdot\frac{x^2}{2}-\int -\sin x\cdot\frac{x^2}{2} $$

Бачимо, що ми собі майже не допомогли. В умові був інтеграл від x · cos x, а тепер методом інтегрування частинами ми дійшли до інтеграла від $-\sin x\cdot\frac{x^2}{2}$. Цей шлях не підходить.

Як вибирати функції u і v'

На жаль, універсального правила немає, потрібна певна інтуїція. Допоможе й те, що ти подивишся, що робитимеш із цими функціями далі. Основна формула, з якої ми виходимо, має такий вигляд:

$$ \int u\cdot v^{\prime} = u\cdot v - \int u^{\prime}\cdot v $$

Якщо інтегруємо функцію f, що має вигляд добутку, намагаємося розкласти її на функції u і $v^{\prime}$ так, щоб $f = u \cdot v^{\prime}$. Мета методу — щоб інтеграл у правій частині $\int u^{\prime} \cdot v$ був простішим за інтеграл у лівій. Вираз u · v нас майже не цікавить, він може бути як завгодно складним.

Щоб інтеграл справа був простішим, за u добре брати таку функцію, яка після диференціювання спрощується. Типово це функції вигляду xⁿ: після диференціювання степінь зменшується на одиницю. Наприклад, із x² отримуємо 2x, а з x отримуємо 1 — це просто ідеально.

Натомість за $v^{\prime}$ намагаємося брати те, що після інтегрування не ускладниться. Зазвичай не варто чекати, що після інтегрування $v^{\prime}$ вийде простіша функція, але можна сподіватися на функцію приблизно такої самої складності. Типово це синус і косинус, бо один інтегрується в інший, що нам не заважає.

Другий приклад

Спробуймо складніший приклад:

$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x $$

Інтеграл від функції e^x — знову e^x, тож це ідеальний кандидат на інтегрування. Натомість похідна від x² дорівнює 2x, а це простіший вираз. Тому виберемо функції так:

$$ u=x^2,\qquad v^{\prime}=e^x $$

Уся таблиця матиме такий вигляд:

$$ \begin{bmatrix} u=x^2,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2x,&v=e^x \end{bmatrix} $$

Підставимо у формулу:

$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$

Ми отримали простіший інтеграл, але поки що не можемо обчислити його до кінця. Виконаємо ще один крок інтегрування частинами. Тепер обчислюватимемо такий інтеграл:

$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$

Хід розв'язання такий самий, як на попередньому кроці. Виберемо функції так:

$$ \begin{bmatrix} u=2x,&v^{\prime}=e^x\\ u^{\prime}=2,&v=e^x \end{bmatrix} $$

І отримаємо:

$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - \int 2e^x \mbox{ d}x $$

Число 2 винесемо за знак інтеграла й отримаємо:

$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot\int e^x \mbox{ d}x $$

А інтеграл від e^x — знову e^x:

$$ \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x = 2x \cdot e^x - 2\cdot e^x $$

Цей результат підставимо назад у попередню рівність:

$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \mbox{ d}x $$

Після підстановки отримаємо:

$$ \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x = x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x) $$

Тепер лишилося трохи привести результат до зручнішого вигляду. Спершу позбудемося дужки, помноживши її вміст на −1, а потім винесемо e^x:

$$\begin{eqnarray} \int x^2\cdot e^x \mbox{ d}x &=& x^2\cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2\cdot e^x)\\ &=& x^2\cdot e^x - 2x \cdot e^x + 2\cdot e^x\\ &=& e^x (x^2-2x+2) \end{eqnarray}$$

І результат готовий.

Інтеграл логарифма

Це такий собі «вічнозелений» приклад на інтегрування частинами. Поглянь на умову справжньої інтегральної легенди:

$$ \int \ln x \mbox{ d}x $$

Цікаво, що в цьому інтегралі немає жодного добутку, але розв'язуватимемо його саме інтегруванням частинами. Просто помножимо логарифм на одиницю. Функція, яку ми інтегруємо, від цього не зміниться, зате в ній з'явиться множення.

$$ \int 1\cdot\ln x \mbox{ d}x $$

Як вибрати функції u і $v^{\prime}$? Функцію ln x інтегрувати ми поки що не вміємо (її інтеграл ми саме й шукаємо), тож логарифм диференціюватимемо. А інтегруватимемо одиницю. Звідси:

$$ u = \ln x, \qquad v^{\prime} = 1 $$

Похідна логарифма — це 1/x:

$$ (\ln x)^{\prime} = \frac1x $$

а інтеграл від одиниці — це x:

$$ \int 1 \mbox{ d}x = x $$

Доповнимо таблицю:

$$ \begin{bmatrix} u=\ln x,&v^{\prime}=1\\ u^{\prime}=\frac1x,&v=x \end{bmatrix} $$

І підставимо у формулу:

$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-\int \frac1x\cdot x \mbox{ d}x $$

Обчислимо інтеграл у правій частині:

$$ \int\frac1x\cdot x \mbox{ d}x = \int 1 \mbox{ d}x = x $$

Отже, отримуємо результат:

$$ \int \ln x \mbox{ d}x=x\cdot\ln x-x+C $$