Визначений інтеграл

Визначений інтеграл слугує для вимірювання площі фігур, що описуються деякою функцією.

Мотивація

Нехай задано функцію $f(x) = \sin(x) + \frac{x}{4}$. Запитаймо: яка площа під кривою графіка від точки a = 0 до точки b = 10? Нас цікавить площа фігури, обмеженої віссю Ox, кривою графіка функції f і вертикальними прямими в точках a і b. Усе показано на рисунку:

Нас цікавить площа виділеної синім кольором фігури. Як її визначити? Можна вчинити так: розбити всю синю фігуру на кілька менших, потім обчислити площі цих менших фігур і додати всі ці часткові площі. Щоб обчислити площу меншої фігури, вона має мати якусь розумну форму, щоб можна було знайти площу за певною формулою. Напрошується прямокутник.

Спершу виберемо зростаючу послідовність точок x₀, …, x_n таку, що x₀ = a, x_n = b. Що більше n, то точніший результат отримаємо. Виберемо просту послідовність x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. З сусідніх точок утворимо відрізки [x_{i − 1}; x_i], тобто отримаємо множину відрізків

$$ D = \left\{[0; 1], [1; 2], [2; 3], \ldots, [9; 10]\right\} $$

Перший відрізок позначимо D₁, другий D₂ і т. д. Далі знайдемо мінімальні значення функції f на кожному відрізку D_i. Наприклад, на D₁ функція f має мінімальне значення при x = 0, і f(0) = 0. На D₂ найменше значення в точці x = 1, і $f(1)=\sin(1)+\frac14 \approx 1{,}0915$. І т. д. Ці значення функції позначимо. Найменше значення функції на відрізку D_i позначимо m_i. Отже, $m_1 = 0, m_2 \approx 1{,}0915$ і т. д.

Тепер на графіку накреслимо прямокутники. i-й прямокутник матиме ширину x_i − x_{i − 1} і висоту m_i:

Бачимо, що кожному відрізку відповідає один прямокутник, який цілком лежить під кривою, але водночас є найвищим можливим. Висота кожного прямокутника на i-му відрізку — це саме m_i. Якби ми тепер додали площі цих прямокутників, то отримали б наближену оцінку площі під кривою. Що більше прямокутників накреслити під кривою, то точнішу оцінку ми дістанемо. Площу i-го прямокутника обчислимо як s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), тож сума всіх прямокутників буде такою:

$$ s = \sum_{i=1}^{10} m_i \cdot (x_i - x_{i-1}) $$

Можна вчинити навпаки: замість мінімального значення функції на відрізку D_i брати завжди найбільше. Ці значення функції позначимо M_i. Прямокутники тоді виглядатимуть так:

Знову кожному відрізку відповідає один прямокутник, і його висота завжди дорівнює M_i. Верхня сторона прямокутника торкається кривої лише в локальних максимумах на цьому відрізку. Додавши площі окремих прямокутників, отримаємо ще одну оцінку площі під кривою. Цю площу обчислимо як

$$ S = \sum_{i=1}^{10} M_i \cdot (x_i - x_{i-1}) $$

Знову ж таки, якщо збільшити кількість прямокутників, оцінка буде точнішою.

Введімо поняття нижньої й верхньої інтегральної суми. Скажемо, що s(D, f) — це нижня інтегральна сума, і її значення дорівнює

$$ s(D, f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot (x_i - x_{i-1}), $$

де f — неперервна функція на відрізку [a; b], де x₀ = a, x_n = b, D — розбиття відрізка [a; b] на менші відрізки, а n — кількість цих відрізків. Верхню інтегральну суму позначимо S(D, f), і вона дорівнює:

$$ S(D, f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \cdot (x_i - x_{i-1}), $$

де f — функція, а D — розбиття відрізка [a; b] на n відрізків.

При цьому, спрощено кажучи, що дрібніше розбиття D, то ближчі одне до одного значення s(D, f) і S(D, f), аж поки десь у нескінченності вони стануть рівними. Отже, існує єдине дійсне число A таке, що

$$ s(D, f) \le A \le S(D, f) $$

для всіх можливих розбиттів D. Що це за число A? Число A — це саме площа під кривою, бо це єдине значення, яке більше або дорівнює сумі площ прямокутників під кривою і водночас менше або дорівнює сумі площ прямокутників «над кривою».

Означення визначеного інтеграла

З попереднього розділу ми знаємо, що для неперервної функції f на відрізку [a; b] виконується s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) для всіх розбиттів D. Це число A називається визначеним інтегралом функції f від a до b. Користуємося позначенням

$$ A = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x. $$

Формула Ньютона–Лейбніца далі стверджує, що виконується така рівність:

$$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b)-F(a), $$

де F — первісна функції f. Праву частину рівності іноді записують і так:

$$ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \left[F(x)\right]_a^b $$

Геометричний зміст визначеного інтеграла — це вже згадана площа під кривою невід'ємної функції f. Ми почали з функції $f(x) = \sin(x) + \frac{x}{4}$, тож спробуймо обчислити площу на відрізку [0; 10]. Обчислимо визначений інтеграл

$$ \int_0^{10} \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x $$

Спершу знайдемо первісну функції f:

$$\begin{eqnarray} \int \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x &=& \int \sin(x) \mathrm{d}x+ \int \frac{x}{4} \mathrm{d}x\\ &=& -\cos(x) + C_1 + \frac{x^2}{8} + C_2 \\ &=& \frac{x^2}{8} - \cos(x) + C_1+C_2 \end{eqnarray}$$

Отже, первісна F має вигляд $F(x) = \frac{x^2}{8} - \cos(x) + C$. Розпишемо визначений інтеграл:

$$\begin{eqnarray} \int_0^{10} \sin(x) + \frac{x}{4} \mathrm{d}x &=& F(10) - F(0)\\ &=& \frac{10^2}{8} - \cos(10) + C - \left(\frac{0^2}{8} - \cos(0) + C\right)\\ &=& \frac{100}{8} - \cos(10) + \cos(0) + C - C\\ &\approx& 12{,}5 + 0{,}839 + 1\\ &\approx& 14{,}339 \end{eqnarray}$$

Наближена площа під кривою на відрізку [0; 10] дорівнює 14,339.